用错位相减法解数列求和问题

2020-12-26 本文已影响0人天马无空

用错位相减法解数列求和问题

方法四错位相减法

解题步骤：

第一步巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；

第二步确定等差、等比数列的通项公式；

第三步构差式：即写出 $S_n$ 的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；

第四步求和：根据差式的特征准确求和.

【例】已知数列 $\{a_n\}$ ， $\{b_n\}$ 满足 $a_1=2$ ， $2a_n=1+a_n a_{n+1}$ , $b_n=a_n-1$ ， .

（Ⅰ）求证数列 $\left\{\dfrac{1}{b_n}\right\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）令 $c_n=\dfrac{1}{b_n 2^n}$ ，求数列 $\{c_n\}$ 的前项和 $T_n$ .

【解】

$\because b_n=a_n-1$ ， $\therefore a_n=b_n+1$ ，

由 $2a_n=1+a_n a_{n+1}$ ，

$\therefore 2(b_n+1)=1+(b_n+1)(b_{n+1}+1)$ ，

化简得： $b_n-b_{n+1}=b_nb_{n+1}$ ，

$\because b_n \neq 0$ ，

$\therefore \dfrac{b_n}{b_n b_{n+1}}-\dfrac{b_{n+1}}{b_n b_{n+1}}=1$ ，即 $\dfrac{1}{b_{n+1}}-\dfrac{1}{b_n}=1(n \in N^*)$ ，

而 $\dfrac{1}{b_1}=\dfrac{1}{a_1 -1}=\dfrac{1}{2-1}=1$ ，

$\therefore$ 数列 $\left\{\dfrac{1}{b_n}\right\}$ 是以1为首项，1为公差的等差数列.

$\therefore \dfrac{1}{b_n}=1+(n-1) \times 1=n$ ，即 $b_n =\dfrac{1}{n}(n \in N^*)$ ，

$\therefore a_n =\dfrac{1}{n}+1=\dfrac{n+1}{n}(n \in N^*)$ ，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $c_n=\dfrac{n}{2^n}$ ,

$\therefore T_n=\dfrac{1}{2^1}+\dfrac{2}{2^2}+…+\dfrac{n}{2^n}$ ，

$\dfrac{1}{2}T_n=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{2}{2^3}+…+\dfrac{n}{2^{n+1}}$

两式相减得：

$\dfrac{1}{2}T_n=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+…+\dfrac{1}{2^n}+\dfrac{n}{2^{n+1}}$

$=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{n}{2^{n+1}}$
$=1-\dfrac{n+2}{2^{n+1}}$ ，

故 $T_n=2-\dfrac{n+2}{2^n}$ .

【总结】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号．

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