矩阵分析（三）基与坐标

2021-05-31  本文已影响0人  Jarkata

设V是\mathbb{F}上的线性空间，若有正整数n及V中的向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n，使得

  1. \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n 线性无关
  2. 任取向量\alpha \in V均可由\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n线性表示
    \alpha=\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+···+\alpha_nk_n \\ =\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n\end{bmatrix} \\ =\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n\end{bmatrix}X

则称V是\mathbb{F}上的有限维线性空间，向量组\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n 称为V的一个基，其中X称为向量\alpha在基\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n下对应的坐标，基向量组中向量的个数n称为V的维数，记为dim(V)

证明一组向量是线性空间的基，分两步

是否任意一个线性空间都有位数？
答案是否定的，下面举一个无限维线性空间的例子。

举几个有限维线性空间维度的例子

例1

V = \mathbb{R}, \mathbb{F} = \mathbb{R}，求dim(V)

例2

V = \mathbb{C}, \mathbb{F} = \mathbb{R}，求dim(V)

例3

V=\mathbb {C}, \mathbb {F}=\mathbb {C}，求dim(V)

例4

V = \mathbb{R}, \mathbb{F} = \mathbb{Q}，求dim(V)


零维线性空间

规定仅含一个元素的线性空间（零线性空间）为零维线性空间，其维数规定为0，零维线性空间也算作有限维线性空间。

例5

试证：所有n阶对称矩阵组成\frac{n(n+1)}{2} 维线性空间；所有的n阶反对称矩阵组成 \frac{n(n-1)}{2}维线性空间

例6

例7

过渡矩阵

设(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)和(\beta_1,\beta2,...,\beta_n)是n维空间V_n(F)中的两组基底，则有A \in F

(\beta_1 \; \beta_2 \; ... \; \beta_n) = (\alpha_1 \; \alpha_2 \; ... \; \alpha_n)A
其中A称为从基(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)到(\beta_1 \; \beta_2 \; ... \; \beta_n)的过渡矩阵。

几个过渡矩阵的定理：

  1. 过渡矩阵可逆
  2. {\alpha_i}到{\beta_j}的过渡矩阵是A， 则{beta_j}到{\alpha_i}的过渡矩阵是A^{-1}
  3. 给定一个可逆矩阵A，以及一个基(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)，就可以找到另一个基
  4. 若从基\alpha_1,...,\alpha_n到基\beta_1,...,\beta_n的过渡矩阵是A，从基\beta_1,...,\beta_n到基\gamma_1,...,\gamma_n的过渡矩阵是B，则从基\alpha_1,...,\alpha_n到基\gamma_1,...,\gamma_n的过渡矩阵是AB

重要推论：坐标变换关系
设向量\gamma在基\alpha_1,...,\alpha_n与基\beta_1,...,\beta_n下对应坐标分别是X与Y，且从基\alpha_1,...,\alpha_n到基\beta_1,...,\beta_n的过渡矩阵是A，即：
\begin{aligned} \eta &= (\alpha_1 \; \alpha_2 \; ... \; \alpha_n)X\\ \eta &= (\beta_1 \; \beta_2 \; ... \; \beta_n)Y\\ (\beta_1,...,\beta_n)&=(\alpha_1,...,\alpha_n)A \end{aligned}
显然有: X = AY

过渡矩阵可逆证明如下：


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