线代（一）：行列式

2020-07-12 本文已影响0人逸无无争

二阶行列式

一般来说，我们解二元方程组采用的都是消元法，简单来说，就是先想办法消除一个未知数，然后求解出另一未知数，最后在反过来求剩下的未知数。
$\left\{\begin{matrix} a_{11}x + a_{12}x = b_{1} & \\ a_{21}x + a_{22}x = b_{2} & \end{matrix}\right.$
求得方程组解为： $x_{1} = \frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$ $x_{2} = \frac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$

我们先把方程组未知数对应的4个系数摘下来，如下排列：
$a_{11}$ $a_{12}$
$a_{21}$ $a_{22}$
表达式 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ 称为二阶行列式，并记作： $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$

二阶行列式可以用对角线法则来记忆： $a_{11}$ 到 $a_{22}$ 的线称为主对角线， $a_{12}$ 到 $a_{21}$ 的线则是副对角线。于是，二阶行列式就是主对角线元素之积减去副对角线元素之积得到的差。

接下来，我们可以这样来求解二元线性方程组：
先求系数确定的二阶行列式：D= $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$
然后，可以直接求得方程组两解： $x_{1}=\frac{\begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}}{D}$ $x_{2}=\frac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_{1}\\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix}}{D}$

# R
# 创建一个2*2矩阵，然后计算其行列式
>my_matrix <- matrix(1:4,2,2)
>print(my_matrix)
     [,1] [,2]
[1,]    1    3
[2,]    2    4
>det(my_matrix)  #内置函数，计算行列式
[1] -2

#python
>>>import numpy as np
>>>my_matrix = np.array([[1,2],[3,4]])
>>>print(my_matrix)
[[1 2]
 [3 4]]
>>>np.linalg.det(my_matrix) #调用函数来计算行列式
-2

三阶行列式

当然，有二阶自然有三阶，通常用的都是二阶行列式或三阶行列式，更高维的则较少使用。

$\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$

这里，对角线法则相对复杂，如图

线代书原话是这么解释：

图中有三条实线看做是平行于主对角线的连线，三条虚线看做是平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号.

全排列

何为全排列？也称为排列，就是把n个不同元素排成一列。对于n个元素，我们可以规定一个标准次序（一般是从小到大）。

对任意一个排列次数，如果某一对元素的先后次序与标准次序不同时，则构成1个逆序,那么，一个排列中所有逆序的总和称为此排列的逆序数。
奇排列：逆序数为奇数的排列
偶排列：逆序数为偶数的排列
线代书例题如图所示：

对换

将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的操作叫对换。
将相邻元素对调的，称为相邻对换

一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。

n阶行列式的定义

学了逆序数这个概念，我们再来看看三阶行列式的求法。
$\begin{vmatrix}a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{vmatrix}$ = $\sum(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}a_{3p_{3}}$
这里的t代表的是 $p_{1}p_{2}p_{3}$ 这个排列的逆序数，所以正负号的选择与逆序数的奇偶有关。

推广到n阶行列式：有 $n^{2}$ 个数，排成n行n列
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$ = $\sum(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}$ =det( $a_{ij}$ )

上（下）三角形行列式：主对角线以下（上）的元素都为0
对角行列式：主对角线以上和以下的元素都为0。
$\begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & &0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} &a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix}$ = $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

行列式的性质

转置行列式： $D^{T}$ = $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} &\cdots &a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} &\cdots &a_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} &a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$

行列式与它的转置行列式相等： $D=det(a_{ij})$ = $D^{T}=det(a_{ji})$
对换行列式的两行（列）,行列式变号 $\Rightarrow$ 如果行列式两行（列）完全相同，则此行列式等于零
- 对换i,j两行，记作: $r_{i}\leftrightarrow r_{j}$
- 对换i,j两列，记作: $c_{i}\leftrightarrow c_{j}$
行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式：第i行（列）乘k，记作 $r_{i}\times k(c_{i}\times k)$ $\Rightarrow$ 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零
若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和

把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

注：

行列式按行（列）展开

一般而言，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，所以我们考虑怎样用低阶行列式来表示高阶行列式。先了解何为余子式和代数余子式。假设有下面这个行列式，然后拿走 $a_{22}$ 所在的行和列，得到新的行列式，这个新的行列式称为 $a_{22}$ 的余子式，记作 $M_{22}$ 。

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} &a_{14} \\ a_{21} & a_{22} &a_{23} &a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} &a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\Rightarrow$ $\begin{vmatrix}a_{11} &a_{13} &a_{14} \\ a_{31} &a_{33} &a_{34} \\ a_{41} &a_{43} &a_{44} \end{vmatrix}$