2019-05-10

2019-05-10 本文已影响0人快乐的大脚aaa

特征值（向量）的求法
特征值的求法： $|\lambda E-A| = 0$
特征向量的求法： $(\lambda E-A)x = 0$ ，有非零解 $\xi$
$\lambda E-A = \begin{pmatrix} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{nn}\\ \end{pmatrix}$
特征矩阵
$\begin{vmatrix} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1}& -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{nn}\\ \end{vmatrix} = f(\lambda)$ 特征多项式
特征值的性质
性质1 $A$ 与 $A^T$ 有相同的特征值
性质2 设阶矩阵A的特征值为，则
- $\lambda_1+...+\lambda_n = tr(A)$
- $\lambda_1...\lambda_n = |A|$
推论：A可逆 $\iff$ A的特征值 $\neq$ 0
性质3 $A\sim B \implies |\lambda E-A| = |\lambda E-B|$ ，反之不成立。
根据代数基本定理： $f(\lambda) = \lambda^n+b_1\lambda^{n-1}+...+b_n$ 复系数多项式,有n个根。