基础量子物理科普（4）量子态与薛定谔方程

2020-03-29 本文已影响0人 Never肥宅

量子态

态的叠加

在经典力学中，波的叠加表示不同波长或是相位、频率的子波叠加
而在量子力学中，波的叠加表示的是态的叠加（毕竟波函数就是态函数）
比如说每个平面波 $|exp[i\boldsymbol p r/\hbar]|$ 都可以描述一个动量固定的量子态，对于一个用波包描述的粒子而言，其动量有许多可能出现的值，那么我们就可以认为波包描述的量子态就是许多不同的动量本征态的线性叠加。

薛定谔方程

那么量子态 $|\phi(r,t)|$ 怎样随时间变化呢？
我们先考虑一个自由粒子
粒子能量和动量的关系是
$E = \frac{p^2}{2m}$
按照德布罗意关系
$\omega = E/\hbar$
$k=p/\hbar$
所以动量p和能量E可以确定一个平面单色波 $\phi(r,t) \propto exp[i(\boldsymbol k· \boldsymbol r - \omega t)]=exp[i(\boldsymbol p· \boldsymbol r - E t)/\hbar]$
对t求偏导（同相位不同幅度）
$\frac{\partial}{\partial t}\phi = -i\frac{E}{h}\phi$
$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi = {E}\phi \ \ \ \ \ (1)$
$-i\hbar\nabla\phi=\boldsymbol p\phi$
$-\hbar^2\nabla^2\phi = \boldsymbol p^2\phi\ \ \ (3)$

因为 $E = \frac{p^2}{2m}$
所以把（1）-（3）/2m
可以有
$(i\hbar\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 )\phi=(E - \frac{\boldsymbol p^2}{2m })\phi = 0$
即为 $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi =-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \phi$
对一个一般的自由粒子而言，其波函数相当于许多平面单色波的叠加，因此我们对p积分
$\phi(r,t)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2} } \int_{-\infty}^{+\infty}\phi(p)exp[i(\boldsymbol{p·r}-Et)/\hbar]d^3p$
同理可证
$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \phi(r,t)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2} } \int_{-\infty}^{+\infty}\phi(p)exp[i(\boldsymbol{p·r}-Et)/\hbar]d^3p$
所以
$(i\hbar \frac{\partial}{\partial t }+\frac{h^2\nabla^2}{2m})\phi = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(\boldsymbol p)(E - \frac{\boldsymbol p^2}{2m})\times exp[i(\boldsymbol{p·r}-Et)/\hbar]d^3p=0$

如果是在势场中
$E = p^2/2m+V$
所以有 $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi =[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 +V]\phi$
也就是薛定谔方程

基础量子物理科普（4）量子态与薛定谔方程

量子态

态的叠加

薛定谔方程

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