第四章多项式

2019-10-23 本文已影响0人熊文鑫

title: 第四章多项式
category: 笔记
date: 2019/10/06
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多项式(多项式是个函数)： $p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\dots+a_mz^m.$

次数:

如果所有的系数都为 $0$ ，那么p的次数就是 $-\infty$

根

对于多项式 $p\in P(F)$ 如果数 $\lambda\in F$ 满足 $p(\lambda)=0.$ 则称 $\lambda$ 为 $p$ 的根。

4.1命题：

设 $p\in P(F)$ 是 $m$ 次多项式， $m\ge1.$ 令 $\lambda\in F$ ，则 $\lambda$ 是 $p$ 的根当且仅当存在 $m-1$ 次多项式 $q\in P(F)$ 使得

4.2 $p(z)=(z-\lambda)q(z),z\in F$ .

4.3推论

设 $p\in \mathcal{P}(F)是m次多项式，m\ge0,$ 则 $p在F中最多有m个互不相同的根。$

4.4推论

设 $a_0,\dots,a_m\in F.$ 如果
$a_0+a_1z+a_2z^2+\dots+a_mz^m=0, z\in F\\ 则a_0=\dots=a_m=0$
即恒等于 $0$ 的多项式，系数全为 $0$ .

4.5引理：带余除法(Division Algorithm):

设 $p,q\in \mathcal{P}(F),$ 并且 $p\not=0,$ 则存在多项式 $s,r\in \mathcal{P}(F),$ 使得 $q=sp+r$ 并且

4.6 $deg\ r<\ deg\ p$ .

4.2 复系数

4.7代数学基本定理(Fundamental Theorem of Algebra):

每个不是常数的复系数多项式都有根。

4.8推论：

如果 $p\in\mathcal{P}(C)$ 是非常数多项式，则 $p$ 可以唯一分解(除因子的次序之外)成如下形式：

4.9 $p(z)=c(z-\lambda_1)\dots(z-\lambda_m),其中c,\lambda_1,\dots,\lambda_m\in C.$

4.3实系数

关于复数的知识：

$z=a+bi,a,b\in R$ ,a称为实部(real part),记为Re z,b为虚部(imaginary part),记为Im z.
对于任意复数都有： $z=Re\ z+(Im\ z)i.$

复数 $z$ 的复共轭(complex conjugate),记为 $\overline z$ ,定义为： $\overline z=Re\ z-(Im\ z)i$
复数 $z$ 的绝对值(absolute value),记为 $|z|$ ,定义为: $|z|=\sqrt{(Re\ z)^2+(Im\ z)^2}$

实部、虚部、绝对值和复共轭具有以下性质：
1.实部的可加性(additivity of real part):对所有 $w,z\in C都有 Re\ (w+z)=Re\ w+Re\ z;$

2.虚部的可加性(additivity of imaginary part):对所有 $w,z\in C都有 Im\ (w+z)=Im\ w+Im\ z;$

3. $z和\overline z的和(sum\ of\ z\ and\ \overline z)$ :对于所有 $z\in C都有z+\overline z=2Re\ z;$

4. $z和\overline z的差(difference\ of\ z\ and\ \overline z)$ :对于所有 $z\in C都有z-\overline z=2(Im\ z)i;$

5.复共轭的可加性(additivity of complex conjugate): $对所有w,z\in C都有\overline{w+z}=\overline w+\overline z;$

6.复共轭的可乘性(multiplicativity of complex conjugate):对于所有 $w,z\in C 都有\overline{wz}=\overline w+\overline z;$

7.共轭的共轭(conjugate of conjugate):对所有 $z\in C都有\overline{\overline z}=z$ ;

8.绝对值的可乘性(multiplicativity of absolute value):对所有 $w,z\in C都有|wz|=|w||z|.$

4.10命题：

设 $p$ 是式系数多项式。如果 $\lambda \in C$ 是 $p$ 的根，则 $\overline{\lambda}$ 也是 $p$ 的根。

4.11命题：

设 $\alpha,\beta \in R$ ,则存在形如

4.12 $x^2+\alpha x+\beta=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2),\lambda_1,\lambda_2\in R$ .的因式分解当且仅当 $\alpha^2\ge 4\beta$

4.13 $x^2+\alpha x+\beta=(x+\frac{\alpha}{2})^2+(\beta-\frac{\alpha^2}{4}).$

4.14定理：

如果 $p\in \mathcal{P}(R)$ 是非常数多项式，则 $p$ 可以唯一(除因子的次序之外)分解成如下形式。

$p(x)=c(x-\lambda_1)\dots(x-\lambda_m)(x^2+\alpha_1x+\beta_1)\dots(x^2+\alpha_Mx+\beta M)$

其中 $c,\lambda_1,\dots,\lambda_m\in R,(\alpha_1,\beta_1),\dots,(\alpha_M,\beta_M)\in R^2$ ,并且对每个 $j$ 都有 $\alpha_j^2<4\beta_j.$

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次数: