经验误差与过拟合

首先在分类机器学习中，引入了两个概念，错误率：分类错误的样本数占总样本数的比例。其表达式为：。其中a为分类错误样本数，m为总样本数。与之相对应的就是精度：分类正确的样本数占总样本数的比例。也就是：。

然后拓展到一般情况就是误差：机器学习预测的输出和样本的真实输出之间的差异。而误差又可分为训练误差（经验误差）：在训练集上产生的误差和泛化误差：在测试集上产生的误差。机器学习的目的是尽力减小泛化误差从而试预测的结果更加准确，但是机器学习的过程中并不知道新样本的信息，所以能做的只能是通过控制训练误差。

当误差比较大的时候，证明机器学习过程并没有很好的掌握对象的一般规律，并不能对新样本进行有效的预测，这种现象被称为欠拟合。同时误差并不是越小越好，机器学习的过程是要学习到对象的一般规律，当误差非常小的时候就意味着，模型将训练集中对象特有的性质也进行了学习，模型的泛化性能就会下降，这种现象成为过拟合。欠拟合可以通过改进学习方法进行完善，但是过拟合是无法避免的，因为如果承认过拟合解决，就等于承认可以通过经验误差最小化来获得最优解。因此训练误差并不能作为评估模型的标准，接下来就介绍一些可行的评估方法。

评估方法

想要得知得到模型的性能，我们就需要用一些一致的样本对其进行测试。主要的思路就是从训练集中抽出一部分作为测试集，对训练出的结果进行测试。方法主要有：

• 留出法
  留出法就是将数据集D分为互斥的两个子集，训练集S和测试集T。在划分的时候要保证S和T的分布和D都保持一致，保持类别比例一致，这一点我们可以通过分层抽样来确保，即从数据集的不同类中以相同的比例分割。为了使结果更加可靠，进行多次划分，然后对多次的结果取平均。然后关键的地方就是S和T之间的比例，S比较多的时候，训练结果和D更接近，但是相对用于测试的T的数目减小，结果的稳定性就会下降；S比较少的时候，训练的结果和D就会原理，保真性就会下降。因此常把2/3~4/5的样本作为训练集剩下的用来作为测试集。
• 交叉验证法
  交叉验证法就是将训练集D均分为k个子集，然后每次取其中1个子集作为T，k-1个子集作为S，进行k次训练，然后这个k次训练进行p次重复，最后对重复结果取平均，称为“p次k折交叉验证”。同样，这个过程子集的划分也要保证分布的一致。这个方法有一个特例，叫做留一法，就是将一个样本作为一个子集，这种方法最接近期望，但是计算量十分大。
• 自助法
  自助法就是有放回的每次从数据集D中抽取一个样本放入D'中，重复进行m次。D'作为训练集，D\D'作为验证集。其中：。因此T中大约有1/3的样本，且在训练集中没有出现，因此称为“包外估计”。这种方法使得小样本量的数据集也能进行机器学习，但是由于改变了子集的分布，所以获得的结果相对于上面两中方法并不可靠。
• 调参与最终模型
  在进行机器学习的过程中许多算法都需要设置参数，不同的参数设置，最后就会得到不同的模型（注意算法的参数和模型的参数不同）。通常获取参数的方法是，采用一定步长的参数，对每种参数进行训练，选择所有得到的模型中最好的对应的参数作为设置参数。获得参数后，把数据集D作为训练集再次训练得到最后的模型。

性能度量

得到了模型之后，我们还需要对模型的性能做一个评估，一些用来衡量模型性能的标准就叫做性能度量。当选择不同的性能度量的时候，模型的评价结果可能会不同，因此需要根据任务需求选择合适的性能度量。

回归中的常用性能度量是均方误差，定义式为：。更一般的表达形式为：，其中p(x)为概率密度。

分类中的度量比较多种多样：

• 错误率和精度
  错误率和精度在前面提高过，对于一个数据集D，错误率的定义为：，一般形式为：，精度的定义为：，一般形式为：。
• 查准率、查全率与F1
  错误率只能反映这个模型的预测的整体情况，当我们想要知道某一中分类中，有多少被预测挑中，或着挑出的有多少是正确的，就引入了两个新概念。差准率为预测的真正例占预测的所有正例的比例，定义为：，查全率为预测的真正例占所有真正例的比例，定义为：。这两个率呈现一种你增我减的规律，这很好理解。

我们可以通过P-R图来描述两个率。制作方法：首先按照预测中最可能为正例->不可能为正例的方式将所有样本排序，然后我们逐次添加一个样本，都视为正例样本，每次计算查准率和查全率，制作P-R图。

有了P-R图之后，我们就可以通过不同模型的P-R曲线来比较它们的性能：完全外包的曲线对应的模型性能优于被包的曲线对应的模型；如果曲线存在交叉，可以通过计算覆盖面积来比较，面积大的性能优，介于面积计算难度大，提出了平衡点的概念，以及基于平衡点的，。

平衡点是当查全率和查准率相等的点，这个点对应的额数值越大，可以认为这个模型越好。对平衡点进行调和平均优化就形成了：，即：。对平衡点进行加权调和平均优化就形成了:，即：。通过的调整我们就可以选择查全率和查准率那个更重要，从而符合实际问题需要。

很多时候我们对分类进行多次训练，因此，查全率和查准率的均值取值就有了两种方法：“宏”是指对每次计算得到的查准率，查全率，取平均值；“微”是指对每次的TP、FP、TN、FN取均值再计算查准率，查全率，。

• ROC和AUG
  有的时候我们的目的是通过学习给出一个预测值，然后通过和某个阈值进行对比，来区分正反例，这个时候相当于对所有样本进行一个排序然后通过一个阈值截断，阈值通过实际任务确定，因此对样本的排序质量就集中反映了模型的性能，为了应对这种需求研发出了ROC。

为了理解ROC，需要下面两个定义，真正例率指正例中被正确调处的比率，定义式为：；假正例率指反例中被错挑为正例的比率，定义式为：。

ROC的做法和P-R图类似：首先一个数据集有给定的a个正例，b个反例，先将所有例子视为反例，每次按顺序将一个样本视为正例，如果是真正例坐标为，如果是假正例坐标为，最终得到ROC图。

然后我们需要通过ROC来比较模型之间的优劣，对这种图的整体理解是每有一个真正例纵坐标增加一个单位，每有一个假正例横坐标增加一个单位。因此，曲线完全外包的时候，外部曲线对应的模型优，存在交叉的时候，覆盖面积比较大的优。因此引入AUG，即ROC曲线覆盖的面积，它的计算公式为：。同时定义了一个用来描述排序误差的“损失”，计算公式为：，这个损失代表的就是ROC曲线之上的面积就，AUC=1-。

• 代价敏感错误率与代价曲线
  引入一个概念，“非均等代价”：不同错误分类付出的代价不同的现象。与上述各种度量不同，每种错误相当于有了自己的权重，不能简单的将所有的错误简单的合并。这里用来表示，意义为当把类错误的认为是类时付出的代价。就等于0。上述的各种度量就可以拓展为各种代价敏感的度量，例如错误率：。为了获得学习器的期望总体代价，使用代价曲线来描述，其中x轴为取值为[0-1]的正例概率代价：，其中p为正例的概率；y轴为取值为[0-1]的归一化代价：。不同的FPR，TPR条件，对应一条不同的线段，(0,FPR)到(1,FNR)，线段下的面积就是这个条件下的期望代价，所有条件都有一个线段，重合面积就是总期望代价。

比较检验

有了评估方法和性能度量，但是得到的度量都是基于测试集数据，而我们想要的是学习器的泛化性能，那么测试集上证明的学习器对比结果，是否在统计学上就能代表泛化性能的结果。下面介绍用到的假设性检验和机器学习性能比较方法。

• 单学习器
  二项检验
  t检验
• 多学习器
  交叉验证t检验
  McNemar检验
• 多学习器
  Friedman检验
  Nemenji检验

这一部分就是假设检验的那些东西，只不过用来分析机器学习的度量，统计学相关的书中更详细一些。

偏差与方差

学习算法为什么会有这样的性能，通过“偏差-方差分解”来解释学习算法泛化性能。推到过程省略得到：。其中偏差度量学习器期望与真实结果的偏离程度，算法本身的拟合能力；方差度量数据变化造成的影响；噪声体现了研究问题的难度。偏差-方差窘境指当训练不足的时候，学习器拟合程度不足，数据变化不会使学习器显著改变，偏差主导，当训练加深，拟合能力逐渐增强，数据变动会被学习器学到，方差主导，训练充足后，拟合能力已经很强，数据的轻微变化也会影响学习器结果，可能会发生过拟合。