数列(一)

2020-04-04 本文已影响0人安迹

数列：已知An求Sn的方法

一.公式法:

等差数列{ $a_{n}$ }， $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2} =na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

等比数列{ $a_n$ }， $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}，q\neq 1$

数列{ $a_n$ },① $a_n=n^2$ ，则 $S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ② $a_n=n^3,S_n=[\frac{n(n+1)}{2}]^2$

二.错位相减法:

$应用于通项公式的形式为等差数列\times 等比数列的形式的数列。$

即对形如{ $x_n\cdot{y_n}$ }，其中 $x_n=an+b，y_n=C\cdot{q ^(n-1) }，a,b,C,q皆为常数，且q\neq 0$

原则：错位来写，空位补0，正位补差

推导公式：见百度错位相减法

三.分组求和法

$应用于通项公式的形式为等差数列\pm 等比数列的数列$ 。

即对形如 $\left\{ {x_n\pm y_n} \right\}$ ，同上...

原则：把数列中的每一项分成多项的和，将其转化为等差、等比、或特殊数列，再利用对应公式求和。

推导公式：略(组成数列的数列的求和公式之和)

四.裂项求和法：

$应用于a_n形如:$ $\frac{1}{n(n+{k})}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})；$ $\frac{1}{n(n-k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n-k}-\frac{1}{n})；$ $\frac{1}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{1}{2}[\frac{1}{(2n-1)}-\frac{1}{(2n+1)}]；\frac{1}{n(n-k)} =\frac{1}{k}(\frac{1}{n-k}-\frac{1}{n})$

$的数列$

原则: 所谓裂项，就是把数列的各项分裂成两项之差，相邻的项彼此相消，就可以化简求和。

推导公式：略

五.倒序相加法：

如果一个数列{ $a_n$ }， $S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_{(n-1)}+a_n$ $倒过来的S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+...+2+1$

$将S_n与倒过来的S_n，按照顺序将他们上下对应的每一项相加，$ $若结果都为一个式子C，则该数列可以用倒序相加法求和。$

原则： $将S_n与倒过来的S_n相加，其结果为n个C,则2S_n=nC,S_n=\frac{nC}{2}$

应用：等差数列求和公式的证明过程

参考文献：错位相减法、数列求an与sn常用方法、<<高中必刷题必修五>>

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