信息的表示和处理（4）：浮点数

2019-02-11 本文已影响0人月月月月_bd25

1.1 二进制小数的定点表示

定点表示的定义

符号"."变成了二进制的点，点左边的位的权是2的正幂，右边的位的权是2的负幂。如 $101.11_2$ 表示

$1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^1 + 1 * 2^{-1} + 1 * 2^{-2} = 5\frac{3}{4}$ 。

二进制小数点左移一位相当于这个数被2除，右移一位相当于该数乘2。
形如 $0.11...1_2$ 的数表示刚好小于1 的数。如 $0.111111_2$ 表示 $\frac{63}{64}$ ，可以用简单表达法1.0- $\varepsilon$ 表示。
有限长度的编码，并不能表示 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{5}{7}$ 这样的数。小数的二进制表示法只能表示那些能被写成 $x * 2^y$ 的数，其他的值只能被近似地表示。可通过增加二进制表示的长度提高表示的长度。

通过增加二进制长度来近似表示无限长度的小数

1.2 IEEE浮点表示

定点表示法不能有效表示非常大的数，因此可用浮点标准 $V = (-1)^s * M * 2^E$ 的形式表示一个数。
- 符号s 决定这个数是负数(s=1)还是正数(s=0)，数值0的符号位做特殊处理。
- 尾数M 是一个二进制小数，范围是1~2- $\varepsilon$ ，或者是0~1- $\varepsilon$ 。
- 阶码E 的作用是对浮点数加权，权重是2的E次幂（可能是负数）
注意，这里的s、M、E都是可以通过二进制数编码的数。
将浮点数的位表示划分为三个字段，分别对s、M、E进行编码
- 一个单独的符号位s直接编码符号s
- k位的阶码字段 $exp=e_{k-1}....e_{1}e_{0}$ 编码阶码E
- n位小数字段 $frac=f_{n-1}...f_1f_0$ 编码尾数M，但是编码出来的值依赖于阶码字段是否等于0

浮点格式

C语言中的单精度浮点格式(float)，符号位s、阶码exp和小数frac的位数分别为1位，k=8位和n=23位，加起来共32位的位表示。
单精度浮点格式
双精度浮点格式（double）中，符号位s、阶码exp和小数frac的位数分别为1位，k=11位和n=52位，加起来共64位的位表示。
双精度浮点格式

浮点数值的分类

根据exp的值，编码值可分成三种情况：

规格化的浮点数（exp的位模式既不全为0，也不全为1）
规格化数的格式
- 当exp的位模式既不全为0，也不全为1时（当全为1时，单精度数值为255，双精度数值为2047），浮点数是规格化的。
- 阶码E的定义：
  - 对规格化的浮点数来说，阶码字段被解释为以偏置形式表示的有符号整数，即阶码 $E=e-Bias$ ，其中e是无符号数，位表示是 $e_{k-1}....e_{1}e_{0}$ （实际上，即上面提到的阶码字段exp所对应的值），而 $Bias = 2^{k-1} - 1$ （单精度格式下Bias=127，双精度格式下Bias=1023）。
  - 由此产生的阶码E的取值范围，单精度是-126 ~ +127，双精度是-1022 ~ +1023
- 尾数M的定义：
  - 小数字段frac被解释为小数值f，其中 $0\le f \lt 1$ ，二进制表示为 $0.f_{n-1}...f_1f_0$ ，即二进制小数点在小数的最高有效位的左边，小数值f表示一个数的小数部分。
  - 尾数M=1+f，这种方式叫隐含的以1开头的表示。因此M也可看成是一个二进制表达式为 $1.f_{n-1}...f_1f_0$ 的数字。由定义可知， $1\le M \lt 2$ 。
非规格化的浮点数（exp全0）
非规格化数的格式
- 当阶码域全0的时候，表示的数就是非规格化形式。此时阶码 $E=1-Bias$ ，尾数M=f，即此时M不包含隐含的开头的1。
- 非规格化数的用途
  - 提供了一种表示数值0的方法。用规格化数表示时，因为 $M\ge1$ ，所以规格化数不能表示0。当阶码和尾数的位表示全为0时，符号位为0，可得到+0.0的值；符号位为1，其他域为0时可得到-0.0的值。
  - 非规格化数可表示那些非常接近于0.0的数。它提供了一种称为逐渐溢出的属性，可能的数值分布均匀地接近于0.0。
特殊值（exp全为1）
浮点格式的特殊值

当阶码全为1时，出现特殊值。又分几种情况：
- 小数域全为0时，得到的值表示无穷：
  - 符号位s=0时表示正无穷。
  - 符号位s=1时表示负无穷。
- 小数域非0时，得到的值为"NaN"，即不是一个数(Not a Number)的缩写。当一些运算结果不能是实数或无穷时（如根号-1），就会返回NaN值。

浮点数的数字示例

重要浮点数的表示和数字值，以及整数值转换成浮点形式：

重要浮点数的表示和数字值，以及整数值转换成浮点形式

1.3 舍入

浮点数的表示方法限制了浮点数的范围和精度，因此浮点运算只能近似表示实数运算。

舍入方式

四种舍入方式示例

向偶数舍入：将数字向上或者向下舍入，使得结果的最低有效数字是偶数。
向零舍入：把正数向下舍入，把负数向上舍入。（即向靠近0的方向舍入）
向下舍入：把正数和负数都向下舍入，得到 $x^-$ ，使得 $x^- \le x$ 。
向上舍入：把正数和负数都向上舍入，得到 $x^+$ ，使得 $x \le x^+$ 。

将偶数舍入法应用到二进制小数上，将最低有效位的值0认为是偶数，值1认为是奇数，只有形如XX...X . YY….Y100...的二进制位模式的数，这种舍入方式才有效，其中X和Y表示任意位值，最右边的Y是要被舍入的位置。只有这种位模式表示两个可能的结果的正中间的值。

对不满足上述形式的浮点数，观察舍入位置的下一位的值，若为1，可考虑向上舍入，若为0，则可考虑向下舍入。

1.4 浮点运算

把浮点数x和y看成是实数，而某个运算 $\odot$ 定义在实数上，计算将产生 $Round(x \odot y)$ ，这是对实际运算的精确结果进行舍入后的结果。

浮点加法

将 $x+^fy$ 定义为 $Round(x+y)$ ，有如下特点：

满足交换律
不满足结合律（因为存在溢出和舍入）
大多数值都存在加法逆元。
满足单调属性：若 $a\ge b$ ，则除了NaN外，对于任意的a, b, x的值，都有 $x + a \ge x + b$ 。（无符号或补码加法不具有单调性）
特殊情况： $，1/-0=-\infty, 1/+0=+\infty, +\infty -\infty = NaN，x+^fNaN = NaN$ 。

浮点乘法

将 $x*^fy$ 定义为 $Round(x*y)$ ，有如下特点：

运算是封闭的
满足交换律
乘法单位元为1.0
不满足结合律（因为存在溢出和舍入）
不满足分配律
满足单调属性：对任意的a, b, c，且都不等于NaN，有

$且，则a \ge b 且 c \ge 0，则a *^f c \ge b *^f c$

$且，则a \ge b 且 c \le 0，则a *^f c \le b *^f c$

只要 $a \ne NaN$ ，就有 $a *^f a \ge 0$ 。

无符号数和补码乘法没有这个单调性。

1.5 C语言中的浮点数

int float double 之间进行类型强制转换的原则：

int -> float，数字不会溢出但可能会被舍入
int / float -> double，能保留精确的数值（double可表示的值范围更大，有效位数也更多）
double -> float，因为范围较小，可能溢出成正无穷或负无穷；精度较小，也可能被舍入
float / double -> int，将会向零舍入，也可能会溢出。与Intel兼容的微处理器指定位模式[10...00] 为整数不确定值。一个浮点数到整数的转换，如果不能为该浮点数找到一个合理的整数近似值，就会产生整数不确定值。