怎么确定函数零点的个数？

2020-07-11 本文已影响0人天马无空

零点的个数的确定

方法一：定义法

解题步骤：

第一步判断函数的单调性；

第二步根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；

第三步得出结论.

【例】.函数 $f(x)=e^x+3x$ 的零点个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】

由已知得 $f'(x)=e^x+3>0$

所以 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 是单调递增，

又 $f(-1)=e^{-1}-3<0$ ，

$f(1)=e+3>0$ ，

所以 $f(x)$ 的零点个数是1，

故选B.

方法2：数形结合法

解题步骤：

第一步函数 $g(x)$ 有零点问题转化为方程 $f(x)=m(x)$ 有根的问题；

第二步在同一直角坐标系中，分别画出函数 $y=f(x)$ 和 $y=m(x)$ 的图像；

第三步观察并判断函数 $y=f(x)$ 和 $y=m(x)$ 的图象的交点个数；

第四步由 $y=f(x)$ 和 $y=m(x)$ 图像的交点个数等于函数的零点即可得出结论.

【例】. 方程 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=|\text{log}_3 x|$ 的解的个数是（）

A．3 B．2 C．1 D．0

【解析】
由图象可知，函数 $y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ 与函数 $y=|\text{log}_3 x|$ 有2个交点，所以方程有2个解，选B.