考研之旅4-5月28日

5月28号，考验体验：平淡。

平淡

线代的特征值收尾了，开始了二次型章节。机组今天好像没啥进度，学到了海明码而已，感觉哪里是个头呀。。。

《复习全书》数二

收获①：线代特征值和方程组的联系，就像每天更新的连续剧一样，今天又碰见了新题目。这道题就是两个简单的知识点混合起来①由A²和A关系得到λ数值②已知A的λ数值，求A-2E的λ数值。如果这是一道填空题，直接套用昨天知道的结论小试牛刀，“对于n阶方阵，如果秩为r，则存在特征值0，且特征值0是n-r重根”，也就是评注2的方法。完美解决！今天又细想到一个问题——这结论是怎么证明，或者在大题里怎么写呢？没想到没想到，还是用方程组论证，难道这就是二营长的意大利炮。答案里的式子①②从两个角度，论述了λ至少是几重根（因为这个解向量可能不是极大线性无关组，所以是至少）。式子①把中间过程展开，就是(E-A)(α₁,α₂,α₃)=0，(E-A)α₁=0=0α₁，所以α₁是特征值0的特征向量，同理线性无关的α₂,α₃也是E-A的特征值0的线性无关的特征向量，所以E-A的特征值0至少有3个特征向量。式子②也可以用同样的方式论证。这个结论并不一定完美，核心是利用特征值为0，用结果等于0的齐次方程组论证，那特征值不得0就不知道详细的根数了。综上可知，这个结论和第1问是不是实对称毫无关系。

《复习全书》数二

收获②：二次型的相似和合同绕晕我了。数学就怕细想，一细想就没头。“实对称矩阵必定能相似对角化”，这个结论刚学相似的时候就知道了。这其实是一个很强的性质，实对称矩阵一定相似且合同以特征值为主对角线的对角阵。仔细一想，这里就有一个问题：实对称矩阵是只相似对角化以特征值为主对角线的对角阵，还是有可能存在其他形式对角阵让其相似且合同呢？这个问题网课和辅导书没有讲，大概率没什么意义。但顺着这个思路延伸，还有两个问题“实对称矩阵是不是相似于一堆矩阵？”“实对称矩阵是不是合同于一堆矩阵？”，就是这种压抑不住的好奇心，唆使我稍微查了查。比较满意的结构如图：

相似矩阵和合同矩阵关系

实对称矩阵可能有一批相似的对角矩阵，也有一批合同的对角矩阵，但一定相似且合同以特征值为主对角线的对角阵。这个问题就先这样自圆其说吧，本身也没什么价值，挖了个坑，填了个土，数个一二三四五，搁置争议吧。

对，也不是没有意义。二次型转换成标准形的过程中，用的两个方法：正交变换和配方法，分别就是合同和相似的应用。这块部分，由于正交矩阵不仅要求可逆还要求逆矩阵等于转置矩阵，条件比配方法要求的逆矩阵更严格。得知，配方法得到的标准形包含通过正交矩阵得到的标准形，反之不行。

《复习全书》数二

收获③：二次型稍微做了个题，这个二次型对应的标准形是啥呢？刚从特征值部分跑过来，思维定式就用了|λE-A|。不好求，难受，想哭。尝试其他方法，就发现自己好蠢。这明明配方法肉眼就能做出来的，还用特征值岂不蠢哉！做题思维要灵活，切忌不撞南墙不回头，所言非虚。

《投名状》考研版