线性代数|矩阵及其运算

2018-10-19 本文已影响97人王诗翔

如果 $A$ 和 $B$ 都是 $m \times n$ 矩阵，称 $A$ 和 $B$ 为同型矩阵，如果对应的元（值）相同，则称两者相等。
只有同型矩阵才能相加，同型矩阵之和仍为同型矩阵
$kA$ 记作矩阵的数乘
矩阵的乘法： $C = A \times B$ ， $A$ 的列数必须等于 $B$ 的行数，更具体表示为
$C_{m \times n} = A_{m \times p} \times B_{p \times n}$
线性方程组可以写作以下形式，其中 $A$ 是系数矩阵， $X$ 是变量矩阵， $b$ 是常数矩阵
$A \times X = b$
矩阵乘法满足下列运算规律：
1. 结合律： $(AB)C = A(BC)$
2. 数乘结合律： $k(AB) = (kA)B = A(kB)$ ，k为数
3. 分配律： $A(B+C) = AB + AC$ ， $(B+C)A = BA + CA$
4. 矩阵乘法一般不满足交换律： $AB \neq BA$
5. 一般来说 $(A+B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$ ， $(A+B)(A-B) \neq (A - B)(A+B) \neq A^2 - B^2$
线性变换 $Y = AX$ （都为矩阵形式），在平面直角坐标系中，线性变换是将点 $(x, y)$ 逆时针旋转 $\theta$ 度得到新点 $(x', y')$ 的旋转变换
$\binom{x'}{y'} = \binom{cos(\theta) \qquad -sin(\theta)}{sin(\theta) \qquad cos(\theta))} \binom{x}{y}$
矩阵 $A$ 的转置，记作 $A^T$
矩阵的转置满足以下规律
- $(A^T)^T = A$
- $(A + B) ^ T = A^T + B^T$
- $(kA)^T = kA^T$ ， $k$ 为数
- $(AB)^T = B^TA^T$ ，称为脱衣法则
若 $A^T = A$ ，则称 $A$ 为对称矩阵；若 $A^T = -A$ ，则称 $A$ 为反对称矩阵
- $AB$ 为对称矩阵的充要条件是 $AB = BA$