2018-04-27 开胃学习数学系列 - 闭合解/解析解和数值

在解组件特性相关的方程式时，大多数的时候都要去解偏微分或积分式，才能求得其正确的解。依照求解方法的不同，可以分成以下两类：解析解和数值解。

解析解(analytical solution)：

• 就是一些严格的公式,给出任意的自变量就可以求出其因变量,也就是问题的解。他人可以利用这些公式计算各自的问题。

• 所谓的解析解是一种包含：分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。用来求得解析解的方法称为解析法〈analytic techniques、analytic methods〉，解析法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。

• 解析解为一封闭形式〈closed-form〉的函数，因此对任一独立变量，我们皆可将其带入解析函数求得正确的相依变量。因此，解析解也被称为闭式解（closed-form solution）。

数值解(numerical solution)：

• 是采用某种计算方法,如有限元的方法, 数值逼近,插值的方法, 得到的解。

• 别人只能利用数值计算的结果, 而不能随意给出自变量并求出计算值。

• 当无法藉由微积分技巧求得解析解时，这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了。

• 数值方法变成了求解过程重要的媒介。

• 在数值分析的过程中，首先会将原方程式加以简化，以利后来的数值分析。

• 例如，会先将微分符号（连续）改为差分符号（离散）等。然后再用传统的代数方法将原方程式改写成另一方便求解的形式。

• 这时的求解步骤就是将一独立变量带入，求得相依变量的近似解。因此利用此方法所求得的相依变量为一个个分离的数值〈discrete values〉，不似解析解为一连续的分布，而且因为经过上述简化的动作，所以可以想见正确性将不如解析法来的好。