近世代数理论基础27：素域

2019-03-05 本文已影响1人溺于恐

素域

扩域

定义：若域F是域E的子域,则称E为F的扩域(扩张),并把这一对域记作 $E/F$

注：任一域都是它的子域的一个扩张,任一域都可由它的子域通过扩张得到

素域

定义：若一个域不含真子域,则称为素域

例：

1.若F是 $\Q$ 的一个子域, $1\in F$ ,故 $\Z$ 包含在F中,且 $\Q$ 也包含在F中,故 $\Q=F$ ,所以 $\Q$ 是一个素域

2.设p为素数,则 $\Z/p\Z=\Z_p$ 是一个素域,若F是 $\Z_p$ 的一个子域, $1mod\; p\in F$ ,故 $kmod\; p(1\le k\le p)\in F$ ,故 $F=\Z_p$

定理：设E是一个域,若 $char(E)=0$ ,则E含有一个与 $\Q$ 同构的子域,若 $char(E)=p\neq 0$ ,则E包含一个与 $\Z_p$ 同构的子域

证明：

$设e是E的单位元$

$令R=\{ne|n\in \Z\}$

$则\varphi:n\to ne是\Z到R的一个环同态满射$

$若char(E)=0$

$则仅当n=0时$

$才有ne=0$

$此时\varphi是一个环同构$

$又E包含R的分式域F$

$\Z的分式域\Q与R的分式域F同构$

$即E包含一个与\Q同构的子域F$

$若char(E)=p\neq 0$

$则\varphi(p)=pe=0$

$\therefore p\in Ker(\varphi)$

$\therefore (p)\subseteq Ker(\varphi)$

$(p)是\Z的极大理想$

$\because \varphi(1)=1\cdot e\neq 0$

$\therefore 1\notin Ker(\varphi)$

$Ker(\varphi)是\Z的一个真子理想$

$\therefore (p)=Ker(\varphi)$

$\therefore \Z_p\cong R$

$即E包含一个与\Z_p同构的子域R\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：一个域是素域,要么与有理数域同构,要么与 $\Z_p$ 同构

若E是域F的一个扩域,S是E的一个子集,用 $F(S)$ 表示E中含F和S的最小子域,称为添加集合S于F所得的扩域

$F(S)$ 显然存在,它等于E的所有包含F和S的子域的交

$F(S)$ 是由所有形如 ${f_1(a_1,a_2,\cdots,a_n)\over f_2(a_1,a_2,\cdots,a_n)}$ 的元组成,其中 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是S中任意有限个元, $f_1$ 和 $f_2$ 是F上关于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的多项式,且 $f_2(a_1,a_2,\cdots,a_n)\neq 0$

若 $S=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ 是一个有限集,则将 $F(S)$ 记作 $F(a_1,a_2,\cdots,a_n)$

定理：设E是域F的扩张,而 $S_1$ 和 $S_2$ 是E的两个子集,则 $F(S_1)(S_2)=F(S_1\cup S_2)=F(S_2)(S_1)$

证明：

$F(S_1)(S_2)是E中包含F(S_1)和S_2的子域$

$\therefore 包含F,S_1,S_2,S_1\cup S_2$

$\therefore F(S_1)(S_2)\supseteq F(S_1\cup S_2)$

$F(S_1\cup S_2)是E中包含F,S_1\cup S_2的子域$

$\therefore 包含F,S_1,S_2,F(S_1)$

$\therefore F(S_1)(S_2)\subseteq F(S_1\cup S_2)$

$第一个等号成立$

$同理可证第二个等号成立\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注： $F(a_1,a_2,\cdots,a_n)=F(a_1)(a_2)\cdots(a_n)$ ,即添加一个有限集合所得的扩张等于陆续添加单个元所得的扩张

单扩张

定义：添加一个元 $\alpha$ 于域F所得的扩张 $F(\alpha)$ 称为域F的一个单扩张

注：单扩张是最简单的扩张

例：令 $\Q(i)=\{a+bi|ab\in \Q\}$ ,其中 $i^2=-1$ ,易知 $\Q(i)$ 是一个域,是 $\Q$ 的一个单扩张

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