微积分学习笔记-平面曲线的长度

2019-11-27 本文已影响0人 LonnieQ

光滑曲线长度的弧长公式

若f在[a, b]上是光滑的，从a到b的曲线 $y = f(x)$ 的弧长是
$L = \int _a^b \sqrt {1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$
若f在[c, d]上是光滑的，从c到d的曲线 $x = f(y)$ 的弧长是
$L = \int _c^d \sqrt {1+(\frac{dx}{dy})^2}dy$

例1 求曲线 $\frac{4\sqrt 2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 1, 0 \leq x \leq 1.$

$\frac{dy}{dx} = 2\sqrt 2 . x ^{\frac{1}{2}}$
$L = \int _0^1 \sqrt {(1 + \frac{dy}{dx})}dx$
$= \int_0^1(1+8x)dx$
$=[\frac{(1+8x)^{\frac{3}{2}}}{12}]_0^1$
$=\frac{13}{6}$

处理 $\frac{dy}{dx}$ 的不连续性
若曲线上某一点 $\frac{dy}{dx}$ 不存在时，我们可以通过把x表示成y的函数求曲线弧长。

例2 求从x = 0到x = 2的曲线 $y = (x/2)^{\frac{2}{3}}$ 的弧长。

导数
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(\frac{2}{x})^{\frac{1}{3}}$ 在x处没定义。改写x为y的方程
$x = 2y^{\frac{3}{2}}$
$\frac{dx}{dy} = 3\sqrt y$
$L =\int_0^1 \sqrt {1+(\frac {dx}{dy})^2}dy$
$= \int_0^1 \sqrt {1 + 9y} dy$
$= [\frac{1}{9} . \frac{2}{3} (1 + 9y)^{\frac{3}{2}}]_0^1$
$= \frac{2}{27} (10\sqrt {10} - 1) = 2.27$

定义弧长微分和弧长微分公式

$ds = \sqrt {dx^2 + dy^2}$
$L = \int ds$

弧长的参数公式

如果曲线C用参数方程 $x = f(x), y = g(t), \alpha \leq t \leq \beta$ 表示, 其中f'和g'是连续的并且在 $[\alpha, \beta]$ 上不同时为0，并且当t从 $\alpha$ 增加到 $\beta$ 时，C刚好被经过一次，则C的弧长是：
$L = \int _{\alpha}^{\beta} \sqrt {(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$

例3. 求星形线
$x = cos^3t, y = sin^3t, 0 \leq t \leq 2\pi$
的弧长。
星形线在[0, 2 $\pi$ ]的弧长是它在[0, 0.5 $\pi$ ]的弧长的4倍。
$(\frac{dx}{dt})^2 = [3cos^2t(-sint)]^2 = 9cos^4tsin^2t$
$(\frac{dy}{dt})^2 = [3sin^2t(cost)]^2 = 9cos^2tsin^4t$
$L = 4 * \int_0^{0.5\pi} \sqrt {9sin^2tcos^2t(sin^2t + cos^2t)} dt$
$= 4 * \int_0^{0.5\pi}3|sin(t)cos(t)|dt$
$= 6 * \int_0^{0.5\pi} sin(2t) dt$
$= 3 * [cos(2t)]_{0.5\pi}^{0}$
$= 3 * (1 - (-1)) = 6$