利用正、余弦定理判断三角形的形状

2020-08-06 本文已影响0人天马无空

利用正、余弦定理判断三角形的形状

正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

类型一判断三角形的形状

使用情景：已知边与三角函数之间的等式关系

解题步骤：

第一步运用正弦定理或余弦定理将已知等式全部转化为都是角或都是边的等式；

第二步利用三角函数的图像及其性质或者边与边之间的等式关系得出所求的三角形的形状；

第三步得出结论.

【例】在 $\triangle ABC$ 中，已知 $a\cos B=b\cos A$ ，那么 $\triangle ABC$ 一定是（）

A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形

【答案】A

【解析】

因为 $a\cos B=b\cos A$ ，

由正弦定理得 $\sin A \cos B=\sin B \cos A$ ，

即 $\sin A \cos B-\sin B \cos A=\sin (A-B)=0$ ，

所以 $A=B$ ，所以三角形为等腰三角形，

故选A.

【总结】解决这类问题的方法通常有两种思路：

一是将等式两边的边运用正弦定理全部转化为正弦角的形式，使得式子只有三角形式；

二是运用余弦定理将右边的 $\cos B$ 化为边的形式，使得等式只有边与边之间的等式关系.