积分题14

2021-01-08 本文已影响0人 Raow1

2017-3-9. 计算 $\iint\limits_S (x+z) \mathrm dS$ ， $S = \{ (x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 = 1 , z \leq 0\}$ 。

显然有 $\iint\limits_S x \mathrm dS$ 为0。于是，在球面坐标中，
$\begin{align*} \iint\limits_S (x+z) \mathrm dS &= \iint\limits_S z \mathrm dS \\ &= \int_0^{2\pi} \mathrm d \theta \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos \varphi \sin \varphi \mathrm d \varphi \\ &= \pi \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2 \varphi \mathrm d \varphi \\ &= -\frac{\pi}{2} \cos 2\varphi |_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \\ &= - \pi \end{align*}$

积分题14

2017-3-9. 计算 $\iint\limits_S (x+z) \mathrm dS$ ， $S = \{ (x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 = 1 , z \leq 0\}$ 。

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