高考理数解析几何大题：福建广东辽宁卷2011年到2015年

2022-12-02 本文已影响0人易水樵

2011年理数福建卷题17

分值：13分

已知直线 $l:y=x+m, m \in \mathbf{R}$ .

（I）若以点 $M(2,0)$ 为圆心的圆与直线 $l$ 相切于点 $P$ ，且点 $P$ 在 $y$ 轴上，求该圆的方程；

（Ⅱ）若直线 $l$ 关于 $x$ 轴对称的直线为 $l'$ ，问直线 $l'$ 与抛物线 $C:x^2=4y$ 是否相切? 说明理由.

2011年理数广东卷题19

分值：14分

设圆 $C$ 与两圆 $(x+\sqrt{5})^2+y^2=4, (x-\sqrt{5})^2+y^2=4$ 中的一个内切，另一个外切.

（1）求 $C$ 的圆心轨迹 $L$ 的方程；

（2）已知点 $M(\dfrac{3\sqrt{5}}{5},\dfrac{4\sqrt{5}}{5}),\;F(\sqrt{5},0)$ ，且 $P$ 为 $L$ 上动点，求 $|\,|MP|-|FP|\, |$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标.

2011年理数辽宁卷题20

分值：12分

如图，已知椭圆 $C_1$ 的中心在原点 $O$ ，长轴左、右端点 $M,N$ 在 $x$ 轴上，椭圆 $C_2$ 的短轴为 $MN$ ，且 $C_1,C_2$ 的离心率都为 $e$ ，直线 $l \perp MN$ ， $l$ 与 $C_1$ 交于两点，与 $C_2$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $A,B,C,D$ .

（I）设 $e=\dfrac{1}{2}$ ，求 $|BC|$ 与 $|AD|$ 的比值；

（Ⅱ）当 $e$ 变化时，是否存在直线 $l$ ，使得 $BO//AN$ ，并说明理由.

2011年理数辽宁卷题20

2012年理数福建卷题19

分值：13分

如图，椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}+ =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左焦点为 $F_1$ ，右焦点为 $F_2$ ，离心率 $e=\dfrac{1}{2}$ , 过 $F_1$ 的直线交椭圆于 $A、B$ 两点，且 $\triangle ABF_2$ 的周长为 $8$ .

（I）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设动直线 $l:y=kx+m$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $P$ ，且与直线 $x=4$ 相交于点 $Q$ . 试探究：在坐标平面内是否存在定点 $M$ ，使得以 $PQ$ 为直径的圆恒过点 $M$ ? 若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由.

2012年理数福建卷题19

2012年理数广东卷题20

分值：14分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}+ =1 (a \gt b \gt 0)$ 的离心率 $e=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ , 且椭圆 $C$ 上的点到点 $Q(0,2)$ 的距离的最大值为 $3$ .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）在椭圆 $C$ 上，是否存在点 $M(m,n)$ M（m，n），使得直线 $l:mx+ny=1$ 与圆 $O:x^2+y^2=1$ 相交于不同的两点 $A、B$ , 且 $\triangle OAB$ 的面积最大? 若存在，求出点 $M$ 的坐标及对应的 $\triangle OAB$ 的面积；若不存在，请说明理由.

2012年理数辽宁卷题20

分值：12分

如图，椭圆 $C_0: \dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a \gt b \gt 0,a,b$ 为常数 $)$ , 动圆 $C_1:x^2+y^2=t^2_1, b \lt t_1 \lt a$ . 点 $A_1,A_2$ 分别为 $C_0$ 的左，右顶点， $C_1$ 与 $C_0$ 相交于 $A,B,C,D$ 四点.

（I）求直线 $AA_1$ 与直线 $A_2B$ 交点 $M$ 的轨迹方程；

（Ⅱ）设动圆 $C_2:x^2+y^2=t^2_2$ 与 $C_0$ 相交于 $A',B',C',D'$ 四点，其中 $b<t_2<a, t_1 \ne t_2$ , 若矩形 $ABCD$ 与矩形 $A'B'C'D'$ 的面积相等，证明： $t^2_1+t^2_2$ 为定值.

2012年理数辽宁卷题20

2013年理数福建卷题18

分值：13分

如图,在正方形 $OABC$ 中, $O$ 为坐标原点, 点 $A$ 的坐标为 $(10,0)$ , 点 $C$ 的坐标为 $(0,10)$ . 分别将线段 $OA$ 和 $AB$ 十等分, 分点分别记为 $A_1,A_2,\cdots,A_9$ 和 $B_1,B_2,\cdots,B_9$ , 连接 $OB_i$ , 过 $A_i$ 作 $x$ 轴的垂线与 $OB_i$ 交于点 $P_i (i \in \mathbf{N}^{*}, 1 \leqslant i \leqslant 9)$

（Ⅰ）求证：点 $P_i (i \in \mathbf{N}^{*}, 1 \leqslant i \leqslant 9)$ 都在同一条抛物线上, 并求该抛物线 $E$ 的方程；

（Ⅱ）过点 $C$ 作直线 $l$ 与抛物线 $E$ 交于不同的两点 $M,N$ , 若 $\triangle OCM$ 与 $\triangle OCN$ 的面积比为 $4:1$ , 求直线 $l$ 的方程.

2013年理数福建卷题18

2013年理数广东卷题20

分值：14分

已知抛物线 $C$ 的顶点为原点, 其焦点 $F(0,c)(c \gt 0)$ 到直线 $l:x-y-2=0$ 的距离为 $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ . 设 $P$ 为直线 $l$ 上的点, 过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $PA,PB$ , 其中 $A,B$ 为切点.
(1)求抛物线 $C$ 的方程；
(2)当点 $P(x_0,y_0)$ 为直线 $l$ 上的定点时, 求直线 $AB$ 的方程;
(3)当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时,求 $|AF| \cdot |BF|$ 的最小值.

2013年理数辽宁卷题20

分值：12分

如图, 抛物线 $C_1:x^2=4y, C_2:x^2=-2py(p \gt 0)$ . 点 $M(x_0,y_0)$ 在抛物线 $C_2$ 上, 过 $M$ 作 $C_1$ 的切线, 切点为 $A,B$ ( $M$ 为原点 $O$ 时, $A,B$ 重合于 $O$ ). 当 $x_0=1-\sqrt{2}$ 时, 切线 $MA$ 的斜率为 $-\dfrac{1}{2}$ .
（I）求 $p$ 的值;
（Ⅱ）当 $M$ 在 $C_2$ 上运动时, 求线段 $AB$ 中点 $N$ 的轨迹方程( $A,B$ 重合于 $O$ 时,中点为 $O$ ).

2013年理数辽宁卷题20

2014年理数福建卷题19

分值：13分

已知双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt 0, b \gt 0)$ 的两条渐近线分别为 $l_1:y=2x, l_2:y=-2x$ .

（I）求双曲线 $E$ 的离心率；
（Ⅱ）如图, $O$ 为坐标原点, 动直线 $l$ 分别交直线 $l_1,l_2$ 于 $A,B$ 两点( $A,B$ 分别在第一、四象限),且 $\triangle OAB$ 的面积恒为 $8$ . 试探究：是否存在总与直线 $l$ 有且只有一个公共点的双曲线 $E$ ? 若存在, 求出双曲线 $E$ 的方程；若不存在, 说明理由.

2014年理数福建卷题19

2014年理科数学广东卷题20

分值：14分

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5},0)$ ，离心率为 $\dfrac{\sqrt{5}}{3}.$

（1）求椭圆 $C$ 的标准方程;
（2）若动点 $P(x_0,y_0)$ 为椭圆 $C$ 外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

2014年理数辽宁卷题20

分值：12分

圆 $x^2+y^2=4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴, $y$ 轴正半轴围成一个三角形, 当该三角形面积最小时,切点为 $P$ (如图). 双曲线 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 过点 $P$ 且离心率为 $\sqrt{3}$ .

（I）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）椭圆 $C_2$ 过点 $P$ 且与 $C_1$ 有相同的焦点, 直线 $l$ 过 $C_2$ 的右焦点且与 $C_2$ 交于 $A,B$ 两点, 若以线段 $AB$ 为直径的圆过点 $P$ , 求 $l$ 的方程.

2014年理数辽宁卷题20

2015年理数福建卷题18

分值：13分

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 过点 $(0,\sqrt{2})$ ，且离心率 $e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）设直线 $l:x=my-1(m \in \mathbf{R})$ 交椭圆 $E$ 于 $A,B$ 两点，判断点 $G(-\dfrac{9}{4},0)$ 与以线段 $AB$ 为直径的圆的位置关系，并说明理由.

2015年理数福建卷题18

2015年理科数学广东卷题20

分值：14分

已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_1∶x^2+y^2-6x+5=0$ 相交于不同的两点 $A，B.$
（1）求圆 $C_1$ 的圆心坐标;
（2）求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程;
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L∶y=k(x-4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点? 若存在，求出 $k$ 的取值范围; 若不存在，说明理由.