正态分布随机变量加减运算后的分布

2020-06-09 本文已影响0人抄书侠

头脑中记得正态分布随机变量进行加减运算后分布有着很简洁的表达式，但是总是不太清晰，在这里进行记录，以便以后进行查阅。毕竟在数理统计中这一运算应当是很常用的。
$X_{1} \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right) X_{2} \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$
设随机变量 $Z=X_{1}+X_{2}$
由 $f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{1}(x) f_{2}(z-x) d x$
得 $f_{Z}(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{Z}} \exp \left[-\frac{\left(z-\left(\mu_{X}+\mu_{Y}\right)\right)^{2}}{2 \sigma_{Z}^{2}}\right]$
其中
$\sigma_{Z}=\sqrt{\sigma_{X}^{2}+\sigma_{Y}^{2}}$
相减只需改变均值中间的加号，变成减号即可。

正态分布随机变量加减运算后的分布

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