椭球体，不管从哪个方向上看，轮廓都是椭圆吗？

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2021-03-03 Wednesday @BJ

这学期要上高数课，解析几何部分给学生布置了一道思考题：

“假如鸡蛋是标准的椭球形，是不是从任何方向看它都是椭圆形？”

这个问题是以前学空间解析几何的时候想的，直觉上看答案是肯定的。只是，应该怎么证明呢？

椭球面是三维空间中的二次曲面，所谓“看”的结果是二维空间中的曲线，首先应该定义清楚怎么把三维变到二维呢。最简单的方式是做投影，具体有两种方式：其一是平行投影，其二是中心投影。

投影法

从简单出发

首先看看特殊情况，椭球变成标准的球，这时候上面两种投影的结果都是简单的。这里借用地图投影的图（看中间和右边的两个即可），容易发现，看到的球的轮廓实际是球面上的一个圆，这个圆是球面和一个平面的交。平行投影的时候，这个圆就是赤道；中心投影的时候这个圆是一条纬线。

另外一个观察是：轮廓和看方向构成了一个柱面（平行投影时）或者锥面（中心投影时）。上面提到的轮廓圆刚好对应柱面（或锥面）与球面相切。

椭球是球的一个变形，是做线性变换过去的。而“相切”这个性质在做线性变换时不会改变。所以椭球被看到的轮廓是圆的一个线性变换，所以是椭圆。这样就给出了一个回答了。

借用地图投影法的图

如果说要用公式把上面的想法写一下的话。先把椭球面 $S$ 和椭球面上一点 $P=(x_0,y_0,z_0)$ 的法向量 $\vec{n}$ 写出来：

$S: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1，\\ \vec{n}=(\frac{2x_0}{a^2},\frac{2y_0}{b^2},\frac{2z_0}{c^2}).$

平行投影。投影方向记为 $\vec{t}=(t_1,t_2,t_3)$ 。轮廓上的点，是椭球面和 $\vec{t}$ 相切的地方，所以有 $\vec{t} \perp\vec{n}$ 的那些点。即 $\vec{t}\cdot\vec{n}=0$ ，这对应的是一个平面。所以轮廓是平面与椭球面的交，是二次曲线，因而是椭圆。平行投影之后还是椭圆。
中心投影。取另一点 $Q=(x_1,y_1,z_1)$ 于椭球外，与椭球面构造出锥面。轮廓点要使 $\vec{PQ} \perp \vec{n}$ , 即 $\vec{PQ} \cdot\vec{n}=0$ , 知
$(\frac{2x_0}{a^2},\frac{2y_0}{b^2},\frac{2z_0}{c^2}) \cdot (x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)=0.$
利用椭球面的方程，可知轮廓点还是在一个平面上。于是中心投影的结果还是椭圆。