深入浅出统计学-12 置信区间的构造

12 置信区间的构造

求解置信区间四步骤

第一步：选择总体统计量

• 在我们的实例中，需要为口香糖口味持续时间的均值构建一个置信区间，于是就需要为总体均值μ构建一个置信区间

第二步：求出所选统计量的抽样分布

• 我们需要知道均值的抽样分布，即需要知道
  

  的期望和方差以及其分布。

  • 
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  • 我们代入总体方差的数值σ²和样本大小的数值n，求出μ的置信区间。又因为我们不知道总体方差σ²的真实值，可以用它的点估计量进行估计。于是我们代入 S ²，所以均值和方差为：

  • image-20210116125130197.png
  • image-20210117130210535.png

第三步：决定置信水平

• 置信水平表明你希望自己对于”置信区间包含总体统计量“这一说法有多大把握。例如，假设我们希望总体均值的置信水平为95%，这表示总体均值处于置信区间中的概率为0.95。

  • image-20210117132313088.png

第四步：求出置信上下限

• 又因为均值的抽样分布符合正态分布。所有我们可以用标准正态分布求置信区间。

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  • 先求标准分Z

    • image-20210117132601966.png

    • 其中Z~N(0,1)

  • 用μ改写不等式

    • image-20210117135845374.png
  • 最后求 image-20210116121341868.png
    

    的数值

    • image-20210117132943250.png
    • image-20210116121341868.png
      

      指的是样本均值的分布，于是我们可以用来自曼帝糖果公司样本的均值的值

当样本很小时，

image-20210116121341868.png 符合t分布

第一步：选择总体统计量

• 在我们的实例中，需要为口香糖口味持续时间的均值构建一个置信区间，于是就需要为总体均值μ构建一个置信区间

第二步：求出所选统计量的抽样分布

我们需要知道均值的抽样分布，即需要知道 image-20210116121341868.png

的期望和方差以及其分布。

• image-20210116125130197.png

• image-20210117130210535.png

• 我们代入总体方差的数值σ²和样本大小的数值n，求出μ的置信区间。又因为我们不知道总体方差σ²的真实值，可以用它的点估计量进行估计。于是我们代入S²，所以均值和方差为：

• image-20210116125130197.png
• image-20210117130210535.png

• 当总体符合正态分布，σ²未知，且可供支配的样本很小时，

  image-20210116121341868.png 符合t分布——这种分布正好可以用来处理我们面临的问题

  • t分布是外形光滑、对称的曲线，确切形状取决于样本大小。当样本很大时，t分布外形很像正态分布；当样本很小时，曲线较为扁平，有两条粗粗的尾巴。它只有一个参数——v，v=n-1。n为样本的大小，v被称为自由度。

  • ”T符合t分布且自由度为v“的简明表示方法为：

    • T~t(v)

第三步：决定置信水平

• 置信水平表明你希望自己对于”置信区间包含总体统计量“这一说法有多大把握。例如，假设我们希望总体均值的置信水平为95%，这表示总体均值处于置信区间中的概率为0.95。

  • image-20210117132313088.png

第四步：求出置信上下限

• 又因为均值的抽样分布符合t分布。所有我们可以用标准分布求置信区间。

  • image-20210117134217566.png

  • 先求标准分Z

    • image-20210117134359046.png

    • 其中Z~N(0,1)

  • 用μ改写不等式

    • image-20210117135031540.png
    • image-20210117135541957.png
  • 最后求 image-20210116121341868.png

    的数值

    • image-20210116121341868.png

      指的是样本均值的分布，于是我们可以用来自曼帝糖果公司样本的均值的值