向量的线性表示

2019-01-27 本文已影响0人 spraysss

设 $A=(a_1,a_2,...a_n)$ 那么AX=b有解的等价于b可以由列向量A线性表示，也等价于A矩阵的秩等于增广矩阵的秩
X为线性表示系数

列向量线性表示

设向量组 $(b_1,b_2,...b_s)$ 可以由向量组 $(a_1,a_2,...,a_r)$ 线性表示则
$b_1=k_{11}a_1+k_{21}a_2+...+k_{r1}a_r$
$b_2=k_{12}a_1+k_{22}a_2+...+k_{r2}a_r$
$...$
$b_s=k_{1s}a_1+k_{2s}a_2+...+k_{rs}a_r$
即：
$(b_1,b_2,...b_s)=(a_1,a_2,...,a_r)\begin{pmatrix} {k_{11}}&{k_{12}}&{\cdots}&{k_{1s}}\\ {k_{21}}&{k_{22}}&{\cdots}&{k_{2s}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ k_{r1}&k_{r2}&{\dots}&k_{rs}\end{pmatrix}$

b由a线性表示可以使用矩阵乘法表示，对应的矩阵系数一列一列的写

一般矩阵相乘的线性表示

$A_{mr}B_{rs}=C_{ms}$
C的列向量可以由A的列向量线性表示
C的行向量可以有B的行向量线性表示

线性相关

设 $A_{mn}=(a_1,a_2,...,a_n)$ 则如下命题等价：

$a_1,a_2,...,a_n$ 线性相关
AX=0有非0解
R(A)<n
可以知道当向量个数n 大于向量维度m时，向量必线性相关

线性无关

设 $A_{mn}=(a_1,a_2,...,a_n)$ 则如下命题等价：

$a_1,a_2,...,a_n$ 线性无关
AX=0只有0解
R(A)=n
detA!=0
A可逆

初等行变换不改变相关性

设矩阵 $A=(a_1,a_2,...,a_n)$ 经过一系列的行初等变化变成矩阵B(b_1,b_2,...,b_n) 则A和B有相同的线性相关性

矩阵转置不改变相关性

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