贝叶斯概率的十层理解（3）

世界是我们的，也是你们的，但归根结底，世界是贝叶斯的。
—— 胡所巴道·丹史乎由谢道里斯基

希望这篇文章能够带大家一起了解神奇的贝叶斯概念，启发更多神奇的思考。

继续上文...

第七层、公式展开：贝叶斯为什么难用？

如下图所示，先是只有B条件，然后又增加了C条件。（图上比例是瞎画的，不能当真）

我们不断增加新条件，条件增多就会导致满足条件的可能性逐渐缩小，而我们寻找的后验概率就是在这个更小范围内，目标事件发生的概率。

条件增多，范围变小，目标范围变小

如图所示，我们先研究秃子中有多少是程序员，然后又研究穿西装的秃子中有多少是程序员，总之，我们就是关注更小范围内有多少是程序员。

下图是增加了条件D戴墨镜的情况，你能找出新的后验概率的分子和分母吗？

增加D条件

显示中我们得到的条件往往不止BCD三种，可能会更多，多很多。而我们知道，每次计算都不容易，很费脑筋。有没有更有效的办法快速向下推导更多条件呢？

我们从贝叶斯公式知道，条件B下的后验概率等于先验概率乘以一个分数即。

贝叶斯公式中各部分的名称如下：

• 程序员的占比称之为先验概率，即无条件下未知事件的发生率，或者说在整体条件下A的发生率，；
• 秃头占比称之为边缘概率，即已知条件B发生的概率，或者说在整体条件下B的发生率，；
• 程序员中的秃头占比称之为似然率，即已知条件在未知事件中存在的概率，；
• 秃头中的程序员占比称之为后验概率，即我们期望了解的已知条件下发生未知事件的概率，；

结合上面的图理解，可以这样思考，先验概率和边缘概率可以看做数量，所以必须有相同的分母，即相同的条件范围，即本次计算的整体。而后验概率和似然率可以看做比例，他们没有单位，同时 ,所以改造后公式：

依照上面公式，新的的先验就是上次的后验，新的后验等于先验乘以一个比例数。

这样下去似乎只要计算出a1、a2、a3...就可以一路乘下去获得了。拿那个穿西装戴墨镜的秃头举例来说（注意先验和边缘都是相同条件）：

（1）

（2）

（3）

这样计算下去有点绕，其实我们只要把握一个原则，就是把事件写全，然后就可以当做除法进行约分。

这其实还是很难记忆，尤其是很难确定似然率的写法，其实只要把握下面几点：

• 似然率的分母条件一定和先验的分子事件相同；
• 似然率的分子事件一定和后验的分子事件相同；
• 边缘概率的分母条件一定和先验的分母条件相同；
• 边缘概率的分子事件一定和后验的分母条件相同；

简化记忆就是似然是分子相除，边缘是分母相除，都是后验除先验：

带入原来的公式就变成了：

注意！上面公式里分子的和分母的中的两个B是不同的，展开写完整应该是，。

我们都展开写完整，再看一次转为除法约分：

套用这个公式，先把先验和后验写上，然后把先验后验都展开，然后拼出似然和边缘，最后再根据公式的含义找到似然和边缘应该对应的值，计算出后验。

比如这个红绿车肇事问题。

某城市早晨发生一场车祸，肇事车逃逸，该城市只有绿色和红色两种汽车，红色占比20%，现有一目击证人称肇事车为红色。已知普通人在当时早晨光线不好的情况下，仅有60%可能正确分辨汽车颜色，其中红色汽车都能被正确识别出来，那么肇事车实际为红色的概率是多少？

• 后验是证人认为是红色这个条件下真是红色的概率，即
• 先验是等于20%，和后验只差一个认为信息，就差一步
• 展开后的公式：

• 似然率：因为红色车都可以被识别，所以就是100%
• 边缘概率：60%正确识别且其中20%红色都正确识别为红色，就是还要正确识别40%的绿车，这就剩下另外40%绿车必须识别错误也认为是红车才行，总计60%都识别成了红车，边缘概率就是所有车中的60%都被识别成了红车。

带入公式求解：

结论是肇事车实际仅有三分之一可能是红车，也就是说更可能是绿车。

如果没有人指认，肇事车是绿车的概率是80%，现在降到了60%，总体来说，第一个指认是红色的条件下，绿车的可能性降低了。

那么如果有第二个人B也指认是红车呢？我们来算一下。

• 后验概率是
• 先验概率是等于33%

展开公式：

• 似然：仍然是100%，因为红车全部会被A和B正确指认为红车。
• 边缘：A认为红色的范围内包含了20%的真红和40%的真绿，我们把它视为一个整体，其中1/3红车，2/3绿车。对于这个新整体，B能够正确识别其中1/3的红车，正确率达到33%，这时还要40%错误率，就是把总体的另外40%（绿车）识别成红车，累计1/3+40%=1/15，就是A红且B红占新整体的比例，大约是73%。

带入公式求解：

这个45%的结论，其实就是B正确识别的真红33%占他识别为红的总数73%的比例。

如果第三个人C也指认是红车，那么会怎样？

只关注边缘概率。如上所述，B把33%的真红车和40%的真绿车都当成了红车，C以这个为整体进行识别。C仍然把真红都正确识别了，此时正确率是33/73=45%，要达到40%错误率，就要再把40%的绿车识别为红车，累计把45%+40%=85%识别为红色。即边缘概率

带入公式求解：

这次增加更小了。
这个52%的结论，其实就是C正确识别的真红45%占他识别为红的总数85%的比例。

继续第四个人D，计算边缘概率。按照上面结论，C识别为红色的结果中包含52%是真红，都会被D识别出来，此外D还要再错误的识别40%绿车为红色，累计识别红色的有92%，结论就是四个人都认为是红色，那么真是红色的概率就是0.52/0.92=56%。

如果我们继续下去就会发现，为了满足40%的错误率，当某人识别的红车中有60%是真红色的时候，下一个人就只能把所有车都识别为红色了，是的，他必须把那40%的绿色车也说成是红色。因此无论多少人再继续指认是红车，后验结果都会停留在60%这个水平。

这是不合理的。一个可行的对题目的修正就是把笼统的仅有60%可能正确分辨汽车颜色，其中红色汽车都能被正确识别出来改为红色汽车都可以正确识别，但绿色汽车只有60%可能被正确识别，这样的话随着指认人数的增加，真是红车的后验概率就可以逼近100%，你可以自己动手实验一下。

再来举一个例子。

经典的三门两羊问题。有三个关闭的门，我在其中两个门后分别放了一只羊，另一个门后放了一辆汽车，你的任务是选到放汽车的门。你先选择了一个门，我并不马上打开这个门，而是打开了另外一个放羊的门，让你看到门后是羊，这时候我问你，要不要放弃原来选择的门，改为选另一个没开的门？

首先，如果不换，所选的门(A)是车的概率是1/3，无论主持人怎么开门关门都没影响，但是对接下来我开门的动作就产生了影响，因为我只能在剩下两个门(BC)中选一个门打开。

我可以打开B保留C，也可以打开C保留B，这两种情况是相同的，我们只考虑其中一种，最后概率乘以2即可。如果我们开B留C，那么换C拿到车的概率就是：

这个其实是在求先验，但从形式上没区别，一样可以使用，请注意这种写法，在条件概率中是不合规则的，因为概率不能超过1，在这里我们必须把它理解成比例或者除法。整体是1，占整体的2/3，所以1比2/3就等于3/2。

其中，似乎并不明显；明显绝对100%满足，C是车的话B肯定是羊；是3/2。所以:

我们用公式求即B是羊的情况中有多少比例C是车:

其中，是1/3，是2/3；而明显是100%必然发生：

注意这不是真正获得车的概率，它的分母是，而我们要的是即整体中的比例。

带回到上面公式，得出开B留C情况下C门是车的概率：

同理：

累加得到最终结论，换门得到车的概率是2/3：

以上故意使用了繁琐的贝叶斯来推理计算，并且引入了奇怪的大于1的概率写法...其实最简单的解答就是：你只有换或者不换两种选择，既然不换是1/3，那么换肯定是2/3。

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这节有点乱，有待检查和改进
<未完待续>
下篇我们将关注更多有趣的相关算法和知识，敬请关注。