大学生数学竞赛

《解析几何》课后题

2019-03-15  本文已影响0人  抄书侠

习题1.1

  1. 用向量法证明:三角形 ABC 的角平分线交于一点N ,并且对任意一点O有\vec{O N}=\frac{1}{a+b+c}(\vec{a O A}+b \vec{O B}+c \vec{O C})其中a,b,c分别是A,B,C,所对的边的边长。
  2. A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}是正n边行的顶点,O是它的对称中心,证\vec{O A_{1}}+\vec{O A_{2}}+\ldots+\vec{O A_{n}}=0

习题1.3

5.. 证明:对任意向量\vec a,\vec b 都有|\vec{a}+\vec{b}|^{2}+|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=2|\vec{a}|^{2}+2|\vec{b}|^{2}\vec a,\vec b不共线时,说明此不等式的意义。

  1. 证明:三角形三条中线的长度的平方和等于三边长度的平方和的\frac{3}{4}

习题1.4

12.设\vec{a} \neq 0, \vec{O P}=\vec{x}求满足方程\vec{a} \times \vec{x}=\vec{b}的点P的轨迹
13.设\vec a,\vec b,\vec c都不是0,\vec{x} \cdot \vec{a}=h \neq 0, \vec{x} \times \vec{b}=\vec{c}\vec x
14.(1)已知|\vec{e}|=1, \vec{e} \perp \vec{r},将\vec r\vec e右旋角度\theta\vec r_1,试用\vec e,\vec r,\theta表示\vec r_1
(2)给定三点O,A,P,O\not= A,将P\vec {OA}右旋角度\theta得到P_1,试用\vec{OA},\vec{OP},\theta表示\vec {OP_1}

习题1.5

4.证明(\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a})=(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})^{2}
12.设\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}不共面,证明:任一向量\vec{a}可以表示成\vec{a}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{e_{2}} \times \vec{e_{3}}}{\vec{e_{1}} \times \vec{e_{2}} \cdot \vec{e_{3}}} \vec{e_{1}}+\frac{\vec{a} \cdot \vec{e_{3}} \times \vec{e_{1}}}{\vec{e_{1}} \times \vec{e_{2}} \cdot \vec{e_{3}}} \vec{e_{2}}+\frac{\vec{a} \cdot \vec{e_{1}} \times \vec{e_{2}}}{\vec{e_{1}} \times \vec{e_{2}} \cdot \vec{e_{3}}} \vec{e_{3}}

习题2.1

5.坐标满足方程(A x+B y+C z+D)^{2}-(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta)^{2}=0的点的轨迹是什么?
10.证明:任何一个经过相交两平面\pi_1\pi_2A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0的交线的平面方程能写成:\lambda\left(A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}\right)+\mu\left(A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}\right)=0其中,\lambda\mu是不全为零的实数

习题2.3

4.在给定的直角坐标系中求下列直线在xoy平面上的投影。
(1)\frac{x+1}{0}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{2}
(2)\left\{\begin{array}{c}{2 x+3 y+1=0} \\ {4 x+3 y+z-1=0}\end{array}\right.

习题3.1

6.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程
8.证明:曲线\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{t}{1+t^{2}+t^{4}}} \\ {y=\frac{t^{2}}{1+t^{2}+t^{4}},(-\infty<t<+\infty)} \\ {z=\frac{t^{3}}{1+t^{2}+t^{4}}}\end{array}\right.表示一条球面曲线,并且求它所在的球面
11. 适当选取坐标系,求下列轨迹的方程。
(1)到两定点距离之比等于常数的点的轨迹;
(2)到两定点距离之和等于常数的点的轨迹;
(3)到定平面和定点等距离的点的轨迹.

习题3.2

3.已知圆柱面的三条母线为:x=y=z, x+1=y=z-1, x-1=y+1=z求这个圆柱面的方程
5.求准线为\left\{\begin{array}{c}{\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1} \\ {z=0}\end{array}\right.的圆柱面方程,这样的圆柱面有几个
11.已知球面x^{2}+y^{2}+z^{2}=1的外切柱面的母线垂直于平面x+y-2 z-5=0,求这个柱面方程。
12. 证明:球面的外切柱面是圆柱面
13.过x轴和y轴分别作动平面,交角\alpha是常数,求交线的轨迹方程,并且证明它是一个锥面。

习题3.3

4.求经过两条抛物线:
\left\{\begin{array}{c}{x^{2}-6 y=0} \\ {z=0}\end{array}\right., \left\{\begin{array}{c}{z^{2}+4 y=0} \\ {x=0}\end{array}\right.的二次曲面方程
6. 适当选取坐标系,求下列轨迹的方程。
(1)当两定点距离之差等于常数的点的轨迹;
(2)到一定点和一定平面(定点不在定平面上)距离之比等于常数的点的轨迹;
(3)设有一个固定平面和垂直于它的一条定直线,求到定平面与到定直线的距离相等的点的轨迹
(4)求与两给定直线等距离的点的轨迹,已知两直线之间的距离为a,夹角为α 。
7. 设一个定点与一条二次曲线不在同一平面上,证明:以定点为定点,以这条二次曲线为准线的锥面是二次曲面。
8.有椭球面\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1的中心O任意引三条相互垂直的射线,与曲面分别交于P_1,P_2,P_3\left|\vec{O P}_{i}\right|=r_{i}, i=1,2,3,证明:\frac{1}{r_{1}^{2}}+\frac{1}{r_{2}^{2}}+\frac{1}{r_{3}^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}
9.证明:用通过坐标轴的平面和椭球面\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,(a>b>c>0)相截时,有且仅有两条截口曲线是圆,并说明这两张截面的位置。

习题3.4

3.求与下列三条直线同时共面的直线所产生的曲面l_{1} : \left\{\begin{array}{l}{x=1} \\ {y=z}\end{array}\right. \quad l_{2} : \left\{\begin{array}{l}{x=-1} \\ {y=-z}\end{array}\right. \quad l_{3} : \frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z+2}{5}
6. 证明:马鞍面同族的所有直母线都平行于同一个平面,并且同族的任意两条直母线异面。
7. 证明:马鞍面异族的任意两条直母线必相交。
8. 证明:单叶双曲面同族中的任意三条直母线都不平行于同一平面。
9. 证明:单叶双曲面同族的两条直母线异面
10. 证明:单叶双曲面异族的两条直母线共面。
11. 求马鞍面的正交直母线的交点轨迹。
12.给定单叶双曲面S:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad(a, b, c>0)求经过S上一点M_0(x_0,y_0,z_0)沿方向(X,Y,Z)的直线是S的直母线的条件;由此证明:经过S上每一点恰有两条直母线
13. 证明:单叶双曲面的每条直母线都与腰椭圆相交。
14. 设 l_1,l_2 是异面直线,它们都与xOy面相交,证明:与 l_1,l_2 都共面并且与xOy面平行的直线所组成的曲面是马鞍面
15.设三条直线l_1,l_2,l_3两两异面,且平行与同一平面,证明:与l_1,l_2,l_3都相交的直线所组成的曲面是马鞍面

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