S7-算法-克鲁斯卡尔算法【2021-02-09】
总目录：地址如下看总纲
1、应用场景-公交站问题
（1）某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
（2）各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
（*）问题：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
image.png
2、克鲁斯卡尔算法介绍
（1）克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
（2）基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
（3）具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止
3、图解
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
image.png
例如，对于如上图所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
image.png
1、步骤分解如下：假设，用数组R保存最小生成树结果
（1）将边<E,F>加入R中，边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中
image.png
（2）将边<C,D>加入R中，上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R
image.png
（3）将边<D,E>加入R中，上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
image.png
（4）将边<B,F>加入R中， 上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
image.png
（5）将边<E,G>加入R中， 上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
image.png
（6）将边<A,B>加入R中，上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
image.png
（*）此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>
2、克鲁斯卡尔算法存在的两个问题：
（1）问题一：对图的所有边按照权值大小进行排序（简单，十大排序随便选择）
（2）问题二：将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路
（3）问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的"最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路
3、什么情况会构成回路？
image.png
（1）在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
<1> C的终点是F。
<2> D的终点是F。
<3> E的终点是F。
<4> F的终点是F。
<*>为什么 F是终点？，其实我觉得应该是起点 或者是 起源吧，而 众人的终点则是起点（是不是有些 哲学 ^……^）
（2）关于终点的说明：
<1>就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"（就是在编码表中 F 比 C,D,E 都大，既终点）
<2>因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。
4、代码
public class KruskalCase {
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
int matrix[][] = {
// 说明： 0 是自己，INF 是不能连通
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
//创建KruskalCase 对象实例
KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
//输出构建的
kruskalCase.print();
kruskalCase.kruskal ();
}
private int edgeNum; // 边的个数
private char[] vertexs; // 顶点数组
private int[][] matrix; // 邻接矩阵
// 使用 INF 表示两个顶点不能连通
private final static int INF = Integer.MAX_VALUE;
// 最终步骤：克鲁斯卡尔算法实现
public void kruskal(){
int index = 0; // 表示最后结果数组的索引（递增）
int[] ends = new int[edgeNum]; // 用于保存“已有最小生成树”中的每个顶点在最小生成树中的终点
// 创建结果数组：保存最后的最小生成树
EData[] resultEdges = new EData[edgeNum];
// 获取图中所有的边的集合，共 12 条
EData[] edges = getEdges ( );
System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12
// 按照边的权值大小进行排序(从小到大)
sortEdges (edges);
// 遍历edges 数组，将边添加到最小生成树时，判断准备加入的边是否形成回路，若没有则加入到 resultEdges，有则不加入
for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
// 获取第i条边的第一个顶点（起点）
int p1 = getPosition (edges[i].start);// p1
// 获取第i条边的第二个顶点（终点）
int p2 = getPosition (edges[i].end); // p2
// 获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
int m = getEnd (ends, p1);
// 获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
int n = getEnd (ends, p2);
// 判断是否构成回路
if (m != n) {// 没有构成回路
ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
resultEdges[index++] = edges[i];// 一条边加入到最终数组中 resultEdges
}
}
// <E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>
//统计并打印 "最小生成树", 输出 resultEdges
System.out.println("最小生成树为");
for (int i = 0; i < index; i++) {
System.out.println (resultEdges[i] );
}
}
// 步骤一：构造器，用于初始化
public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {
// 初始化顶点数和边的个数
int vlen = vertexs.length;
// 初始化顶点
// 采用复制拷贝，而不是直接使用 this.vertexs，好处是便于多次使用
this.vertexs = new char[vlen];
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
this.vertexs[i] = vertexs[i];
}
// 初始化邻接矩阵
// 采用复制拷贝，而不是直接使用 this.matrix，好处是便于多次使用
this.matrix = new int[vlen][vlen];
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j = 0; j < vlen; j++) {
this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
}
}
// 统计有效边的个数
for (int i = 0; i < vlen; i++) {
for (int j =i+1 ; j < vlen; j++) {
if (matrix[i][j] != INF) {// 表示有效，可连通
edgeNum++;
}
}
}
}
// 步骤三：打印邻接矩阵
public void print() {
System.out.println ("邻接矩阵为：\n");
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
System.out.printf ("%12d", matrix[i][j]);
}
System.out.println ( );// 换行
}
}
/**
* 步骤四：对边进行排序处理，采用冒泡排序
*
* @param edges 边的集合
*/
private void sortEdges(EData[] edges) {
for (int i = 0; i < edges.length-1; i++) {
for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {
if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {
EData temp = edges[j];
edges[j] = edges[j + 1];
edges[j + 1] = temp;
}
}
}
}
/**
* 步骤五：查询顶点，返回下标
*
* @param ch 顶点的值，eg: 'A','B'
* @return 返回顶点的下标，若没找到返回 -1
*/
private int getPosition(char ch) {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i] == ch) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 步骤六：获取图中边，放到 EDate[] 数组中，用于后面遍历
* <p>
* 通过 邻接矩阵 matrix[][] 获取
* EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]
*
* @return
*/
private EData[] getEdges() {
int index = 0;
EData[] edges = new EData[edgeNum];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {// i + 1，这里的 +1 是避免自己跟自己遍历比较
if (matrix[i][j] != INF) {
edges[index++] = new EData (vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
/**
* 步骤七：获取获取下标为 i 的顶点的终点，用于后面判断两个顶点的终点是否相同（判断是否回路）
*
* @param ends ：此数组记录了各个顶点对应的终点是哪个【此数组会在遍历过程中，逐步形成】
* @param i ：表示传入的顶点对应的下标【既要查询终点的节点】
* @return ：返回的是为下标 i 的顶点的终点
*/
private int getEnd(int[] ends, int i) {// i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
}
// 步骤二：创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边
class EData {
char start;// 一条边的起点
char end; // 一点边的终点
int weight;// 边的权值
// 构造器
public EData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
//重写toString, 便于输出边信息
@Override
public String toString() {
return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";
}
}
5、仓库坐标
image.png
