1989-math-one-02

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设 $f ( x )$ 是连续函数,且 $f(x)=x+2 \int_{0}^{1} f(t) d t$ ,则 $f ( x )=$ ?
解：由定积分的性质可知, $\int_{0}^{1} f(t) d t$ 和变量没有关系,且 $f ( x )$ 是连续函数,故 $\int_{0}^{1} f(t) d t$ 为一常数,为简化计算和防止混淆,令 $\int_{0}^{1} f(t) d t=a$ ,则有恒等式 $f(x)=x+2 a$ ,两边 0 到 1 积分得 $\int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1}(x+2 a) d x$ ,即 $a=\int_{0}^{1}(x+2 a) d x=\int_{0}^{1} x d x+2 a \int_{0}^{1} d x=\left[\frac{1}{2} x^{2}\right]_{0}^{1}+2 a[x]_{0}^{1}=\frac{1}{2}+2 a$ ,解之得 $a=-\frac{1}{2}$ ,因此 $f(x)=x+2 a=x-1$ .

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