利用构造法求数列通项公式五

2020-11-03 本文已影响0人天马无空

利用构造法求数列通项公式五

方法九利用构造法求数列通项公式五

使用情景：型如 $a_{n+1}=\dfrac{pa_n}{qa_n+r}$ （其中 $p,q,r$ 为常数）

解题步骤：

第一步将递推公式两边取倒数得 $\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{r}{p}\cdot \dfrac{1}{a_n}+\dfrac{q}{p}$ ；

第二步利用方法五，求出数列 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 的通项公式；

第三步求出数列 $\{a_n\}$ 通项公式.

【例】已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=\dfrac{a_{n-1}}{3a_{n-1}+1}$ ， $a_1=1$ ，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。

【解析】取倒数 $\dfrac{1}{a_{n}}=\dfrac{3a_{n-1}+1}{a_{n-1}}=3+\dfrac{1}{a_{n-1}}$

$\therefore \left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 是等差数列

$\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{a_1}+3(n-1)=1+3n-3$

$a_n=\dfrac{1}{3n-2}$