1、背景

在计算广告和推荐系统中，CTR预估(click-through rate)是非常重要的一个环节，判断一个商品的是否进行推荐需要根据CTR预估的点击率来进行。在进行CTR预估时，除了单特征外，往往要对特征进行组合。对于特征组合来说，业界常用的方法有人工特征工程 + LR（Logistic Regression）、GBDT（Gradient Boosting Decision Tree） + LR、FM（Factorization Machine）和FFM（Field-aware Factorization Machine）模型。最近几年也出现了很多基于FM改进的方法，如deepFM，FNN，PNN，DCN，xDeepFM等。

2、动机（one-hot编码带来的问题）

FM(Factorization Machine)主要是为了解决数据稀疏的情况下，特征怎样组合的问题。已一个广告分类的问题为例，根据用户与广告位的一些特征，来预测用户是否会点击广告。数据如下：(本例来自美团技术团队分享的paper)

1、训练数据

clicked是分类值，表明用户有没有点击该广告。1表示点击，0表示未点击。而country,day,ad_type则是对应的特征。对于这种categorical特征，一般都是进行one-hot编码处理。

将上面的数据进行one-hot编码以后，就变成了下面这样：

2、经过one-hot

因为是categorical特征，所以经过one-hot编码以后，不可避免的样本的数据就变得很稀疏。举个非常简单的例子，假设淘宝或者京东上的item为100万，如果对item这个维度进行one-hot编码，光这一个维度数据的稀疏度就是百万分之一。由此可见，数据的稀疏性，是我们在实际应用场景中面临的一个非常常见的挑战与问题。

one-hot编码带来的另一个问题是特征空间变大。同样以上面淘宝上的item为例，将item进行one-hot编码以后，样本空间有一个categorical变为了百万维的数值特征，特征空间一下子暴增一百万。所以大厂动不动上亿维度，就是这么来的。

3、对特征进行组合

普通的线性模型，我们都是将各个特征独立考虑的，并没有考虑到特征与特征之间的相互关系。但实际上，大量的特征之间是有关联的。最简单的以电商为例，一般女性用户看化妆品服装之类的广告比较多，而男性更青睐各种球类装备。那很明显，女性这个特征与化妆品类服装类商品有很大的关联性，男性这个特征与球类装备的关联性更为密切。如果我们能将这些有关联的特征找出来，显然是很有意义的。

一般的线性模型为：

$y(x)=w_{0} +\sum_{i=1}^n{w_{i} }x_{i}$

从上面的式子很容易看出，一般的线性模型压根没有考虑特征间的关联。为了表述特征间的相关性，我们采用多项式模型。在多项式模型中，特征 $x_{i}$ 与 $x_{j}$ 的组合用 $x_{i} x_{j}$ 表示。为了简单起见，我们讨论二阶多项式模型。具体的模型表达式如下：

为了简单起见，我们只考虑二阶交叉的情况，具体的模型如下：

$y(x)=w_{0} +\sum_{i=1}^n{w_{i} x_{i} }+\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^n w_{ij} x_{i} x_{j}$

式中， $n$ 表示样本的特征数量, $x_{i}$ 表示第 $i$ 个特征，与线性模型相比，FM的模型就多了后面特征组合的部分。

4、FM求解

从FM公式可以看出，组合特征的参数一共有 n(n−1)/2个，任意两个参数都是独立的。然而，在数据稀疏性普遍存在的实际应用场景中，二次项参数的训练是很困难的。其原因是，每个参数 $w_{ij}$ 的训练需要大量 $x_{i}$ 和 $x_{j}$ 都非零的样本；由于样本数据本来就比较稀疏，满足 $x_{i}$ 和 $x_{j}$ 都非零”的样本将会非常少。训练样本的不足，很容易导致参数 $w_{ij}$ 不准确，最终将严重影响模型的性能。

那么，如何解决二次项参数的训练问题呢？矩阵分解提供了一种解决思路。在model-based的协同过滤中，一个rating矩阵可以分解为user矩阵和item矩阵，每个user和item都可以采用一个隐向量表示。比如在下图中的例子中，我们把每个user表示成一个二维向量，同时把每个item表示成一个二维向量，两个向量的点积就是矩阵中user对item的打分。

3、矩阵分解

类似地，所有二次项参数 $w_{ij}$ 可以组成一个对称阵 $W$ （为了方便说明FM的由来，对角元素可以设置为正实数），那么这个矩阵就可以分解为 $W=V^T V$ ， $V$ 的第 $j$ 列便是第 $j$ 维特征的隐向量。换句话说，每个参数 $w_{ij} = <v_{i}, v_{j}>$ ，这就是FM模型的核心思想。因此，FM的模型方程为（本文不讨论FM的高阶形式）

$y(x)=w_{0}+ \sum_{i=1}^n w_{i} x_{i}+ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^n <v_{i}, v_{j}> x_{i} x_{j}$

其中， $v_{i}$ 是第 $i$ 维特征的隐向量， $<.,.>$ 代表向量点积。隐向量的长度为 $k(k<<n)$ ，二次项的参数数量减少为 $kn$ 个，远少于多项式模型的参数数量。另外，参数因子化使得 $x_{h}x_{j}$ 的参数和 $x_{i}x_{j}$ 的参数不再是相互独立的，因此我们可以在样本稀疏的情况下相对合理地估计FM的二次项参数。具体来说， $x_{h} x_{i}$ 和 $x_{i} x_{j}$ 的系数分别为 $<v_{h} ,v_{i} >$ 和 $<v_{i} ,v_{j} >$ ，它们之间有共同项 $v_{i}$ 。也就是说，所有包含“ $x_{i}$ 的非零组合特征”（存在某个 $j \neq i$ ，使得 $x_{i} x_{j} \neq 0$ ）的样本都可以用来学习隐向量 vivi，这很大程度上避免了数据稀疏性造成的影响。而在多项式模型中， $w_{hi}$ 和 $w_{ij}$ 是相互独立的。

显而易见，FM的模型公式是一个通用的拟合方程，可以采用不同的损失函数用于解决回归、二元分类等问题，比如可以采用MSE（Mean Square Error）损失函数来求解回归问题，也可以采用Hinge/Cross-Entropy损失来求解分类问题。当然，在进行二元分类时，FM的输出需要经过sigmoid变换，这与Logistic回归是一样的。直观上看，FM的复杂度是 $O(kn^2)$ 。但是，通过下面的等式，FM的二次项可以化简，其复杂度可以优化到 $O(kn)$ 。由此可见，FM可以在线性时间对新样本作出预测。

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^2 <v_{i},v_{j}>=\frac{1}{2}\sum_{f=1}^k ((\sum_{i=1}^n x_{i,f}x_{i} ^2)^2-\sum_{i=1}^nx_{i,f}^2 x_{i} ^2)$

4、推导过程

5、二次项化简

我们再来看一下FM的训练复杂度，利用SGD（Stochastic Gradient Descent）训练模型。模型各个参数的梯度如下：

6、求解参数梯度

其中， $x_{j,f}$ 是隐向量 $v_{j}$ 的第 $f$ 个元素。由于 $\sum\nolimits_{j=1}^n x_{j,f}x_{j}$ 只与 $f$ 有关，而与 $i$ 无关，在每次迭代过程中，只需计算一次所有 $f$ 的 $\sum\nolimits_{j=1}^n x_{j,f}x_{j}$ ，就能够方便地得到所有 $v_{j,f}$ 的梯度。显然，计算所有 $f$ 的 $\sum\nolimits_{j=1}^n x_{j,f}x_{j}$ 的复杂度是 $O(kn)$ ；已知 $\sum\nolimits_{j=1}^n x_{j,f}x_{j}$ 时，计算每个参数梯度的复杂度是 $O(1)$ ；得到梯度后，更新每个参数的复杂度是 $O(1)$ ；模型参数一共有 $nk+n+1$ 个。因此，FM参数训练的复杂度也是 $O(kn)$ 。综上可知，FM可以在线性时间训练和预测，是一种非常高效的模型。