2020-06-11 克拉美罗界

2020-06-11 本文已影响0人王小七_

1、克拉美罗界的简单介绍

2、定位克拉美罗界公式

介绍一下克拉美罗界

来源：https://blog.csdn.net/wangh0802/article/details/75578101

各种研究领域（包括无线定位方向）都会碰到参数估计的问题，这时常常会看到克拉美罗界 (Cramér–Rao bound) 这个东西。很多随机信号的书都会介绍什么是克拉美罗界，但初学者学起来往往很吃力，本文从直观上简单讨论一下克拉美罗界的各个方面。

什么是参数估计问题

假设一种最简单的情况：一个物理量为 $A$ ，我们使用某种方式去观测它，观测值为 $x$ ，由于存在噪声，此时 $x = A + \omega$ ， $\omega$ 为高斯噪声，服从 $N(0,\sigma ^2)$ 。这种情况下，我们自然会直接使用观测值 $x$ 去估计 $A$ ，这时就会存在估计的误差，直观地理解，噪声的方差 $\sigma ^2$ 越大，估计就可能越不准确。

为什么要讨论克拉美罗界

讨论克拉美罗界就是为了使用这个标准来衡量无偏估计量的性能。

采用上面的方式，使用 $\hat{A} =x$ 去估计 $A$ ，这个估计值会在真实值附近波动（看作随机变量）。我们需要使用一些标准来衡量这种估计的好坏，一个标准是估计值的平均，这里的这个估计量是无偏估计量。另一标准是这个估计值波动的剧烈程度，也就是方差。上面这个问题中，克拉美罗界就等于这个方差。

可是为什么不直接讨论方差而要去计算克拉美罗界呢，因为方差是针对某一种特定的估计量（或者理解为估计方式）而言的，在上面的例子中，方差是估计量 $\hat{A}$ 的方差 $(\hat{A}=x)$ 。对于稍微复杂一点点的问题，对 $A$ 的可以有各种不同的估计量，它们分别的方差是不同的。显然，对于无偏估计量而言，方差越小的估计方式性能越好，但是这个方差有一个下界，就是我们的克拉美罗界。

直观地理解克拉美罗界

克拉美罗界本身不关心具体的估计方式，只是去反映：利用已有信息所能估计参数的最好效果。

还是上面那个参数估计问题，当我们观察到 $x$ 的时候，我们可以知道真实值 $A$ 的概率密度分布是以 $x$ 为均值， $\sigma ^2$ 为方差的正态分布，即：

上图给出了两个似然函数的例子，直观地看，似然函数的“尖锐”性决定了我们估计位置参数 $A$ 的精度。这个“尖锐”性可以用对数似然函数峰值处的负的二阶导数来度量，即对数似然函数的曲率（对数似然函数就是在似然函数的基础山加一个自然对数，这样有利于计算）。计算过程我就不写了，有兴趣的可以自己算算，算完之后结果为 $\frac{1}{\sigma ^2 }$ ，是噪声的方差的倒数，也就是噪声越小，对数似然函数越尖锐。

所以，可以这样理解，似然函数的“尖锐”程度，或者，符合似然函数分布的这组数据的方差，就是克拉美罗界。

定位性能的克拉美罗界公式

随手搜到一个数学公式的推导过程，总体看来是一些挺困难的公式

https://blog.csdn.net/Reborn_Lee/article/details/84255533#2%20Mean%20and%20Variance%20Analysis

后在文章中找到推导之后的公式，能用。

Woo Cheol Chung and Dong Ha, "An accurate ultra wideband (UWB) ranging for precision asset location,"IEEE

Conference on Ultra Wideband Systems and Technologies, 2003,Reston, VA, USA, 2003, pp. 389-393, doi: 10.1109/UWBST.2003.1267870.

D. Cramer-Rao Lower Bound

The Cramer-Rao lower bound (CRLB) indicates the low bound on the unbiased delay estimate as shown in (1) [9].

$\beta$ 是有效信号带宽，定义如下：

Figure 3 shows CRLBs on the ranging error in terms of SNR for the four different bandwidths, 0.5 GHz, 0.75 GHz, 1GHz, and 3.3GHz. The figure indicates that theoretical low bounds are less than 5 cm for the entire range of the SNR experimented under the bandwidth of 3.3 GHz.

其中，

SNR，为信号功率/噪声功率。

$SNR = \frac{P_{signal} }{P_{noise} }$

SNR的单位一般是dB，其值为十倍对数信号与噪声功率比：

$SNR(dB)=10log_{10} (\frac{P_{signal} }{P_{noise} } )$

公式中，使用的是右边的值，但是图中又是按照dB显示，需要中间转换一下。