有界、无界

花

01、定义

设函数f(x)的定义域为D，f（x）集合D上有定义。
上界

如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。

下界

如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界

有界

存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在D上有界

无界

无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。

02、充分条件

流程：
先看函数极限存不存在，检查属性（1）和（2）

（1）极限存在

（1）f(x)在x0上极限存在，则f(x)有界
（2）f(x)在趋于无穷时极限存在，则f(x)有界

（2）极限不存在

若f(x)趋于无穷，则f(x)在其去心领域内无界

（3）有界属性

有界函数与有界函数之和/积，仍为有界函数

（4）连续

若f(X)在[a,b]上连续，则f(X)在[a,b]上有界

（5）数据集属性

f(X)在数据集U上有最大值，则有上界
f(X)在数据集U上有最小值，则有下界