凸性

凸性反映在两个方面，一个是集合中的凸集，一个是函数中的凸函数。

凸集其实就是满足集合内任意两点的连线仍在集合内的性质。也可以称之为任意两点具有线性同伦，可道路连通。

凸函数就是下陷的函数，函数图像上任意两点的连线都在函数曲线上方。

重要的例子，球形邻域总是凸集，范数总是连续的凸函数。

线性子空间，空间中对线性运算封闭的子集，线性运算就是加法和标量乘法。

一个不那么基础的例子，闭区间上的连续函数空间，保持在一个端点上函数值为0的子函数集就是一个闭线性子空间。

这就带来了一个问题，存在开的线性子空间吗？一个显然的例子就是整个空间，作为全集是既开又闭集，还有空集，也是既开又闭的。所以存在性是显然的，除此之外，还有没有别的例子呢？去找了一波答案，发现这个问题也是比较复杂的，对于有限维赋范空间而言，子空间都是闭的，因为同胚于欧式空间。所以，不存在其他的例子，无穷维就复杂了，估计也不好构造。

最后是一系列的术语，集合的线性扩张，闭包，凸包，闭凸包，内部，边界，外部，内点，边界点，外点。

总的来说，就是指包括这个集合的最小的闭集，凸集，闭凸集，这就是前面的各种包。然后被集合所包含的最大的开集，就是内部，闭包差内部，就是边界，边界将空间分为了内部和外部。其中的点就分别是内点，边界点和外点。

这些概念确实挺无聊的，不过，也是必要的，提供了一个背景，在这个背景上可以展开各种准确的论述。

最后是对线性子空间，凸集，闭集中点的刻画，线性子空间中的点总可以描述为其他点的线性组合，而凸集中的点则可以描述为在单形构成的边上，，这个可能比较抽象，可以取几个低维度的例子，，就是在两点连线上，也就是一维单形，或者说二维单形的边，类似的，就是三点连线构成的三角形上，也就是二维单形，或者说三维单形的边。以此类推，所以，凸集的性质很好，总可以通过内部所含的单形刻画。闭集中的点，则是可以描述为收敛序列的极限点，毕竟闭集对极限运算封闭。