FM2：30-5二维对称性

这一节篇幅很长，讲了几个概念和问题

对称性

对称性这一个词与通常所认为的关于对称轴对称有很大区别。

这里的对称性指的是群论中的对称性。对群论比较熟悉的读者，往往能看到这样的一个描述，群就是保持对象不变的操作的集合，用范畴的语言就是对象的自同构集。

简单来说，对称性可以理解为保持某种性质不变，比如说晶体，就是保持物理性质不变。这种性质是可以任意选取的， 于是我可以这样定义，对称性为保持自由落体运动规律不变，那么我在家里做实验，或者我在学校里做实验，如果发现这个规律是一样的，那就可以称家和学校是对称的，虽然它们位置不同，形状不同，看起来与对称没有丝毫关系，但在这个性质上就是对称的。因此，这个概念是抽象的，不能按照日常经验来判断。

于是，可以将这样的性质相同的点称之为相当点，那么从一个相当点到达另一个相当点所采取的行动就是对称操作。

图上，ABCD四个点都是相当点，对于B可能不容易看出，但是就像左右手一样，通过照镜子就能实现它们的重合。

初基矢

初基矢定义为由选定的点到最近的相当点的矢量，这里的相当点是在平移下的相当点，于是从原点出发，走过任意整数倍的初基矢，到达的一定是相当点。那么将这些点画出来就是一个点阵了，这个点阵就以初基矢为坐标轴矢量，于是，还可以定义坐标。初基矢的选择并不是唯一的。

旋转对称

对称操作不止是平移，旋转也是可行的，把一个球任意的转，它还是个球，它作为球的性质没有变化，所以它对旋转操作是对称的。

对于晶体，同样可以这样来看，我把一个晶体绕某个点转了一个角度，发现和之前的晶体一模一样，那这个旋转的操作就是对称操作了。

就像图上所见，对图片旋转90°，图像和原图还是一模一样，所以，显然是对称操作。

上图是四重对称，如果说旋转360°代表了原图，那么旋转90°可以做四次。

六重对称

对上图旋转60°，得到的图像大体还是一样的。看下边。

五重对称不存在

高于六重的对称也不存在

对于小于60°的情况，假如选择BC作为初基矢，会发现BC太近了，考虑到它们也是相当点，所以应该有一个更靠近A的点D，作为初基矢。既然不能选C点，那旋转角肯定就比60°大了。

对于五重对称的情况，会发现DE之间距离太近了，C同样不能作为初基矢。

于是，只有一重，二重，三重，四重，六重对称。共五种旋转对称性。

而四重，六重对称又称为具有较高的对称性。

滑移对称

翻转并移动一个格子，与原图一致。我感觉这更像是一种组合情况，没必要单独来讲。

不过，这也是一种对称操作，用群的有限生成表示的话，也会列出来。

反演对称

这是三维空间中的对称性，我们都知道坐标系有右手系与左手系的区分，仅凭刚体变换：平移和旋转是无法将右手系变换到左手系的，需要使用反演变换，将三个坐标轴都反向，才能实现。于是，这就是一种三维晶体中特有的变换了。

17种二维晶格

出自百度文库

这个去搜索了一下，看着挺漂亮的。确实像墙纸，桌布上的图案。

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写了这么多，感觉有点累。

总而言之，这一节讲了：

对称性，初基矢，旋转对称只有五种，滑移对称，反演对称，二维晶格。

其实也没什么用处。用来设计图案倒是还有点用。