《图灵的秘密：他的生平、思想及论文解读》
作者：[美]佩措尔德
译者：杨卫东，朱皓
出版社：人民邮电出版社
出版时间：2013-11

一、代数方程

  代数方程有一个变元，通常表示为x。
  代数方程在现实问题中频繁出现，所以它们很受重视。代数方程的一般形式是：

其中，N是正整数，ai是整数。它可以更简明地写成：

  代数方程的解（也叫方程的根）称为代数数。
  一个N次多项式最多可以有N个不同的解。

二、实数

  负数的平方根称作虚数。
  实数包括了除负数平方根以外的一切数。
  实数也称为连续统，因为实数可以看成一条连续直线上全体点的集合：
  整数不是连续的，有理数全体也不是连续的。

三、超越数

  现在，我们从两个角度对数进行分类。我们已经将代数方程的解定义为了一类，称作代数数，这一类包括整数、有理数和许多如平方根和立方根的无理数。我们还定义了一类数，称作实数，它是除负数平方根外的其他数。

  现在的问题是：所有的实数都是代数数吗？是否有些实数不是代数方程的解？

  1740年，莱昂哈德·欧拉（1707—1783，瑞士人）猜想，非代数数确实存在，他称它们为超越数，因为它们超越了代数。证明超越数存在是艰难的，你如何证明一个特定的数不是一些极其冗长并且无比繁杂的代数方程的解？

• 超越数的存在一直是一个未解决的问题，直到1844年，法国数学家约瑟夫·刘维尔（1809—1882）想出了一个容易研究的数，并且成功证明了它不是代数数。刘维尔数这样构造：在小数点后第1！，2！，3！，4！，5！，..N!.位为1，其余位置为0。
• 1882年，德国数学家费迪南德·林德曼（1852—1939）证明了长久以来最著名的一个无理数也是超越数，这个数就是π，即圆的周长与直径的比。林德曼证明了π不是代数方程的解，这个事实为一个古老的难题提供了新的视角，即“化圆为方”问题无解。
• 另一个著名的超越数用符号e表示（代表欧拉）。即

四、问题

  在过去的这个世纪中，许多数已经被证明是超越数了，但是仍然没有一种通用方法来证明一个数是不是超越数。例如，对于下面这个数仍然没有结论：
  图灵论文（以及本书）将数限定在了实数（非虚数）。下面的图汇总了实数领域内几个最重要的类别。