群论之拉格朗日定理

2023-06-09 本文已影响0人东方胖

有限群的个数叫做阶

拉格朗日定理表示，如果有限群 $G$ 的阶数是 n, 那么它的所有子群的个数 k 可以整除 n。
子群 $H$ 定义为 $H$ 是群，并且 $H\subset G$

群的定义
大概描述成，一个集合和一个合成运算 · ，这个合成运算可以把两个元素合成一个元素。
元素怎么理解？
通常情况下，我们觉得它就是数。
但是不仅仅是数，实际上任何集合中的对象都可以构成元素。它和集合论中的元素是一个意义的。
集合中成员理论上可以是任何的数学对象：数，映射，集合，多项式，等等
合成运算是指，两个元素在运算下是等于一个元素

$a · b = c， a\in G, b\in G$

一个群 $(G, ·)$ 是指，赋与一个运算 · ，且满足下面的特征的集合

运算满足结合特性. $a, b, c \in G, (a·b)·c = a·(b·c)$
有恒等元。存在 $e \in G,$ 对任意的 $a\in G, a·e = e·a = a$
有逆元。对每个 $a \in G$ 存在 $a$ 的逆元使得 $a · a^{-1} = a^{-1} · a = e$
一般教材会陈述三条，但我们读者比较容易忽略运算 · 的封闭性。群要求运算是一个将 $G × G$ 映射到 $G$ 的运算，暗含 $(G, ·)$ 的封闭性

恒等元和逆元的存在，结合律特性隐约说明了它们是唯一的。结合律让运算 · 在群内可以施用消去律

如果 $a · b = a · c$ 那么 $b = c$ 因为
$a^{-1} · (a · b) = (a^{-1} · a) \cdot b = b \\ a^{-1} · (a · c) = (a^{-1} · a) · c = c$

子群就是 G的子集同时满足以上特性, 那么G在同样的运算 · 下构成子群。这样子集 $H$ 能够构成群，自然也得满足封闭性，即
$a·b \in H, a\in H, b\in H$
子群 $H$ 是 $G$ 的子集. 从消去律可以看出恒等元 $e$ 是唯一的，子群必然和 $G$ 共享那个唯一的恒等元
这样的话，如果 $a \in H$ ， $H$ 是群，它的每个元素都有逆元，也就是 $a^{-1} \in H$

以上关于群和子群的定义。

在一类有限群 $G$ 中，任意 $G$ 的子群 $H$ 的阶数 k 和 $G$ 的阶 n 有特别的关系——即 k 总是可以整除 n。
这就是拉格朗日定理。

对称群 ${S_n}$ 是一种排列映射构成的集合，在映射的复合运算下，构成群。比如序号1 ，映射到 2, 3映射到 4，... , n 映射到1的位置。
可以看成是一个有限的序列的变换，上面的映射可以用符号表达成下面的样子
$\left ( \begin {array} \\1, 2, 3, 4, ..., n \\ 2,3,4, 5, ..., 1 \end{array} \right)$
这样的排列共有 $n!$ 个，每个映射作为集合 $S_n$ 的一个成员。

运算 $\circ$ 是作用上面的序列变换的映射上的复合运算， $f \circ g$
很明显 $\circ$ 是封闭的，因为无论怎么复合，序号 n 肯定会对应到一个户号 m，而且不会引起冲突，即不同的序号映射到相同的序号上。
恒等映射就是
$\left ( \begin {array} \\1, 2, 3, 4, ..., n \\ 1,2,3, 4, ..., n \end{array} \right)$
对于 $S_3$ 可以罗列出它所有的6个成员

$I_1= \left ( \begin {array} \\1, 2, 3 \\ 1,2,3 \end{array} \right), I_2=\left ( \begin {array} \\1, 2, 3 \\ 2, 3,1 \end{array} \right) \\ I_3=\left ( \begin {array} \\1, 2, 3 \\ 3,2,1 \end{array} \right), I_4= \left ( \begin {array} \\1, 2, 3 \\ 2,1,3 \end{array} \right) \\ I_5=\left ( \begin {array} \\1, 2, 3 \\ 1,3,2 \end{array} \right), I_6=\left ( \begin {array} \\1, 2, 3 \\ 3,1,2 \end{array} \right)$

$I_1$ 是恒等映射
仔细观察可以发现
$I_2 \circ I_6 = I_1 \\ I_4 \circ I_4 = I_1 \\ I_3 \circ I_3 = I_1 \\ I _5 \circ I_5 = I_1 \\ I_2 \circ I_3 = I_4 \\ I_3 \circ I_4 = I_6 \\ I_5 \circ I_6 = I_3 \\ I_6 \circ I_6 = I_2 \\ I_2 \circ I_2 = I_6 \\ I_2 \circ I_5 = I_3 \\ I_2 \circ I_4 = I_5 \\ I_3 \circ I_2 = I_5 \\ I_6 \circ I_2 = ...$
想办法把所有的子群找出来。
首先每个子群都有 $I_1$

其次子群运算封闭，考虑每个元素的 n 次方，即运算 $\circ$ 重复 n 次，因为 $G$ 有限，并且运算封闭，而 n 是无穷的，必然会有 $k \ne l$ 使得 $a^k = a^l$
并且可以找到一个 k，使得 $a^1, a^2, a^3, a^4, ..., a^k$ 两两不同
集合 $H = {a^0, a^1, a^2, ... , a^k}$ 构成一个子群，因为假设的 $a^{k+1}$ 是在 $H$ 里，任何两个元素相乘封闭在 $H中$ , $a^0$ 是恒等元
可以根据这个方法来构造子群。
$S_3$ 的子群包括 ${I_1}$ 独立成群，
$I_2 \circ I_2 = I_6, \\ I_2^3 = I_6 \circ I_2 = I_2 \circ I_6 = I_1 \\ I_2^4 = I_3^3 \circ I_2 = I_2 \\ I_2^5 = I_2^4 \circ I_2 = I_6 \\ ...$
集合 $H = \{I_1, I_2, I_6\}$ 构成一个子群，单位元是 $I_1$
同样的方法，可以发现 $\{I_1, I_3\}$ , $\{I_1, I_4\}$ , $\{I_1, I_5\}$ , 构成子群。
这些子群的个数分别是1，2， 3 满足拉格朗日定理所述事实。

拉格朗日的经典证明框架大概是：

构造一个所谓的陪集的概念，即 $aH =\{ah; h\in H\}, a \in G$ ,
说明陪集不交
遍历取 $G$ 的元素，可以把 $G$ 分割成一组有限的陪集的并集，它们两两不相交
然后证明任何一个陪集的个数和子群 $H$ 相同。这里只需证明存在一个 $H \to aH$ 的1-1的映射
令 $f: f(h) = ah, a \in G$
即可，

这样的话群 $G$ 可以写成
$G = a_1H \cup a_2H \cup ... \cup a_kH$ $a_i, i = 1,2,.., k 互不相同，且 a_i \in G$
这组并集两两不交，并且个数相同, 都等于 H 的阶，所以得到
$|G| = k|H|$

群论之拉格朗日定理

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