Marjorie Rice：一位被写进数学史的家庭主妇

PART 1

这个故事昨天就该写，但是昨天为了治疗拖延症拖延了。今天再不写，又会拖延一天，那样治疗成本就会更高。我发现了一个奇怪的规律，拖延症本来不是病，拿着当病治就会变成绝症。

今天要讲的故事，是一个家庭主妇，她的名字叫 Marjorie Rice，今年已经去世，享年9X岁。

她一生最大的成就，就是以业余数学家的身份，被载入了数学史，并且在一个尘埃落定的数学问题上，永远留下了自己的名。

这个问题就是凸五边形密铺的问题。

密铺（tiling）是每个人，生活中都遇到的问题，只要你家铺过瓷砖，就无法回避，纵然没有搞过装修，走在大街上，礼堂中，也会遇到这个问题。

密铺问题简单地说就是，在一个平面中，用相同的多边形，不留缝隙地铺满整个平面。

人们发现，所有的三角形都是可以密铺的。

这很简单，只要把两个一模一样的三角形，拼成一个平行四边形，就可以组成一个（基数）了，用平行四边形是肯定可以密铺的。

四边形呢？我们首先想到的是平行四边形（包括矩形），是可以密铺的。

那么任意四边形呢？只要稍作想象，就可以得出结论，任何一个四边形都是可以密铺的，只需要把四个角凑在一起。

（见下图）

那么五边形呢？

我们首先要定义一下，超过四个边的多边形的种类。

一类是凸多边形。简单地说，就是你绕着这个多边形开车开一圈，方向盘只朝一个方向转。这就是凸多边形。

一类是凹多边形。形象地说，同样是开车，你绕着这个多边形开车，方向盘要两边都打。这就是凹多边形。

（看下图）

由于凸五边形是我们今天讲的主要话题，而且我们的主人公的主要贡献在于它，因此我们暂且跳过。

先讲凸六边形。

很容易就会看到，正六边形是可以密铺的。

数学家们还研究出，一共有三种凸六边形可以密铺，分别如下：

接下去，有趣的地方来了。

对于超过六个边的凸多边形，数学家证明，是不可能密铺的。

一篇好的科普文章，一定要让读者明白前因后果，不放过每个细节，哪怕跟我们故事的主人公关系不是很大。我也要讲清楚，科学家是怎么证明的。

事实上，只需要证明凸七边形不能密铺，就可以证明7个边以上的都不能密铺。

证明如下：

为什么超过六条边的凸多边形不能密铺？

我们考虑凸七边形的情况，为简化问题起见，我们只考虑顶点对顶点的密铺。（顶点对准边的密铺情况，比较复杂，但是也可以简化为顶点对顶点的情况。）我们知道七边形的内角之和是900度（多边形内角和公式是 （n-2）x180度），着意味着，七边形的内角平均是900/7度。着很简单吧？

如果顶点对顶点可以平铺，意味着顶点内角之和是360度。着很清楚吧？

现在我们做一个简单的计算就知道，如果顶点相对，铺面整个平面，需要几个七边形呢？

360/(900/7)= 2.8个

这意味着，需要2.8个七边形。但是我们知道，七边形的个数必须是个整数，要么是两个，要么是三个，不可能是2.8个。

两个的话，是不可能的，因为一个七边形的内角不可能是180度（那样意味着是一条直线，也就是不是一个角了。）

而三个七边形又肯定放不下。

同理可证，八边形就更无法平铺了。

由此可以得证，超过六个边的多边形，无法平铺。

大家看到这里会恍然大悟。

对于凸多边形密铺，我们已经解决了，3，4，6条边的问题。

• 三角形都能密铺。
• 四边形都能密铺。
• 六边形只有三种密铺。
• 七条边及以上的多边形都不能密铺。

那么只需要解决五边形的密铺问题，那么所有多边形的密铺就全部解决了。也就是说这个数学问题可以定案封卷，永远放进数学史了。

但是历史的进展远远没有那么简单。

五边形密铺的问题，是一个非常复杂的问题。

人们首先发现，正五边形是无法密铺的，这个看一看正五边形的图形就知道了。

凸五边形密铺发现的历史，我直接照抄一段知乎。

好了，现在轮到了我们的主人公上场。

Marjorie Rice是一位全职家庭主妇，1975年的一天，她翻看给儿子订阅的一本《科学美国人》杂志，看到了马丁-加德纳的一篇专栏，里面提到了五边形的密铺问题。加德纳在那篇文章里生成，已经把剩下的所有密铺的正五边形全都找齐了。

Marjorie Rice不相信。

我也不知道，她为什么不相信数学权威的话。可能这与她的经历有关。这里暂且不提。

从此以后，她经常在厨房里一个人写写画画，她的家人都不知道她在做什么。