维纳过程(也布朗运动)

定义

• 变量z在具有以下两个性质时被称为服从维纳过程：
  1.独立增量/马尔可夫性:
  在任意两个互不重叠的时间区间内，变化量之间相互独立。
  

  2.正态增量:变化量在一段时间区间内的变化为： 维纳过程.jpg

广义维纳过程

表示:

广义维纳过程.jpg

Ito过程

表示:

Ito过程.jpg

描述股价行为(Ito过程/几何布朗运动)

考虑使用广义维纳过程描述股价变动

• 假设一: 投资者所要求的预期收益率与价格无关→收益率期望不变 而不是漂移率期望不变
• 假设二: 无论股价为多少，在一段较短时间内，股价百分比收益的变动性应该一样→股价变化的标准差应该与股价成正比 而不是波动率不变

在满足上述假设后，股价变动应该使用Ito过程来刻画，表示为:

股价行为.jpg

上式变形，有:

对数正态分布.jpg

所以，股价变动符合几何布朗运动。

Ito引理(随机微积分中的链式法则)

Ito引理.jpg

其中的规则是:

Ito引理的一些规则.jpg