FT、Z、S变换关系

李佳

学号 19011210599

【嵌牛导读】介绍FT、Z、S变换

【嵌牛鼻子】傅立叶变换 拉式变换 Z变换 

【嵌牛提问】FT、Z、S变换的关系是什么？

【嵌牛正文】一般信号在时域上是混叠的，我们从时域上面看是一堆信号叠加以后的杂乱波，但是如果将信号变换到频域的范围内，则可以清晰的看出每个信号都分别在自己的频率上面波动，因此频域分析更加方便。

1、傅立叶变换：傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，傅立叶变换是Z变换单位圆上的变换，也即它是Z变换的特殊情况，周期信号的傅里叶级数的意义是信号在每一个离散频率分量处的幅度，非周期信号的傅里叶变换可以理解为周期无穷大的周期信号的傅里叶级数。傅立叶变换的要求比较苛刻，它需要时域有限信号才能进行变换，但是在实际生活当中很多信号不能满足其严苛的要求，因此就有了拉式变换和Z变换。

2、拉式变换（S）：是将傅立叶变换中的变换因子e^(-jwt)换为e^sT，S表示在整个复平面上的变换，包括实轴和虚轴，也即是在傅立叶变换基础上的虚轴方向的扩展，把定义在时域上的信号（函数）映射到复频域上，拉普拉斯变换就是一种处理函数的函数，复频率s没有明确的物理意义。

3、Z变换：它是将拉式变换中的变换因子e^sT换成z，z变换是连续信号经过理想采样之后的离散信号的l拉式变换，再令z=e^sT时的变换结果（T为采样周期），所对应的域为数字复频率域，此时数字频率ω=ΩT。Z变换对求解线性差分方程是一种简单而有效的方法，在采样控制理论中,Z变换是主要的数学工具，Z变换还在时间序列分析、数据平滑、数字滤波等领域有广泛的应用。