近世代数理论基础38：n(≥5)次一般代数方程的根式不可解性

2019-03-16 本文已影响9人溺于恐

n( $\ge 5$ )次一般代数方程的根式不可解性

根式扩张

定义：若 $E=F(\alpha)$ ,且 $\exists n\in N$ 使 $\alpha^n\in F$ ,即 $E=F(\sqrt[n]{a}),a\in F$ ,则称 $E/F$ 为根式扩张

根式可解

定义：设F为域, $f(x)\in F[x]$ 且为首1多项式, $deg\;f\ge 1$ ,E为 $f(x)$ 在F上的分裂域,方程 $f(x)=0$ 称为在域F上根式可解,指存在域的根式扩张序列 $F=F_1\subset F_2\subset \cdots\subset F_{r+1}=K$ 满足：

1. $F_{i+1}/F_i(1\le i\le r)$ 均是根式扩张,即 $F_{r+i}=F_i(\sqrt[n_i]{a_i}),a_i\in F_i$

2. $E\subset K$

注：

1.从域F扩张成K是由有限次添加元的根号得到的

2.f(x)的全部根都在K中

3.f(x)=0的所有根可通过F中元的四则运算和开根号运算表达

可解群

定义：设有限群G有正规子群列 $G=G_1\lhd G_2\lhd \cdots\lhd G_{s+1}=\{1\}$ ,其中 $G_i\lhd G_{i+1}$ 表示 $G_{i+1}$ 是 $G_i$ 的正规子群,若商群 $G_i/G_{i+1}(1\le i\le s)$ 均是交换群,则称G为可解群

定理：设域F的特征为0, $f(x)\in F[x]$ 且为首1多项式, $deg\; f\ge 1$ ,则 $f(x)=0$ 在F上根式可解当且仅当 $f(x)$ 在F上的伽罗瓦群为可解群

定理：设 $n\ge 2$ , $t_1,t_2,\cdots,t_n$ 为n个不定元,F是特征为0的域,则一般方程 $f(x)=x^n-t_1x^{n-1}+t_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^nt_n=0$ 在F上的伽罗瓦群为对称群 $S_n$

证明：

$设f(x)的根为y_1,y_2,\cdots,y_n$

$则f(x)=(x-y_1)(x-y_2)\cdots(x-y_n)$

$=x^n-t_1x^{n-1}+\cdots+(-1)^nt_n$

$f(x)在F(t_1,t_2,\cdots,t_n)上的分裂域为$

$E=F(t_1,t_2,\cdots,t_n,y_1,y_2,\cdots,y_n)=F(y_1,y_2,\cdots,y_n)$

$\because t_1,t_2,\cdots,t_n是y_1,y_2,\cdots,y_n的初等对称多项式$

$设x_1,x_2,\cdots,x_n是另外n个不定元$

$令g(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$

$=x^n-\rho x^{n-1}+\cdots+(-1)^n\rho_n$

$其中\rho_1,\rho_2,\cdots,\rho_n是x_1,x_2,\cdots,x_n的初等对称多项式$

$\because t_1,t_2,\cdots,t_n是不定元$

$\therefore 存在环同态\sigma:F[t_1,t_2,\cdots,t_n]\to F[\rho_1,\rho_2,\cdots,rho_n]$

$其中\sigma(t_i)=\rho_i(1\le i\le n),\sigma|_F=1$

$\because x_1,x_2,\cdots,x_n也是不定元$

$\therefore 有环同态\tau:F[x_1,x_2,\cdots,x_n]\to F[y_1,y_2,\cdots,y_n]$

$其中\tau(x_i)=y_i(1\le i\le n),\tau|_F=1$

$\therefore \tau\sigma(t_i)=\tau(\rho_i)=\tau(x_{j_1}x_{j_2}\cdots x_{j_i})$

$=\sum _{j_1}y_{j_2}\cdots y_{j_i}=t_i$

$\therefore \tau\sigma=1$

$\therefore h\in Ker(\sigma)\Rightarrow (h)=0\Rightarrow \tau\sigma(h)=0\Rightarrow h=0$

$\therefore \sigma为单同态$

$显然\sigma为满同态$

$\therefore \sigma是F[t_1,t_2,\cdots,t_n]与F[\rho_0,\rho_2,\cdots,\rho_n]的环同构$

$且可扩充成商域的同构,仍记作\sigma$

$\sigma:F(t_1,t_2,\cdots,t_n)\cong F(\rho_1,\rho_2,\cdots,\rho_n)$

$又可扩充为环同构$

$\sigma:F(t_1,t_2,\cdots,t_n)[x]\cong F(\rho_1,\rho_2,\cdots,\rho_n)[x]$

$其中\sigma(x)=x$

$\therefore \sigma(f(x))=\sigma(x^n-t_1x^{n-1}+\cdots+(-1)^nt_n)$

$=x^n-\rho_1x^{n-1}+\cdots+(-1)^n\rho_n=g(x)$

$\because \sigma(F(t_1,t_2,\cdots,t_n))=F(\rho_1,\rho_2,\cdots,\rho_n)$

$\therefore Gal(F(y_1,y_2,\cdots,y_n)/F(t_1,t_2,\cdots,t_n))$

$\cong Gal(F(x_1,x_2,\cdots,x_n)/F(\rho_1,\rho_2,\cdots,\rho_n))$

$\because x_1,x_2,\cdots,x_n是n个不定元$

$\rho_1,\rho_2,\cdots,\rho_n是x_1,x_2,\cdots,x_n的初等对称多项式$

$\therefore x_1,x_2,\cdots,x_n的任一置换都产生F(x_1,x_2,\cdots,x_n)相对F(\rho_1,\rho_2,\cdots,\rho_n)的自同构$

$\therefore Gal(F(x_1,x_2,\cdots,x_n)/F(\rho_1,\rho_2,\cdots,\rho_n))是对称群S_n$

$\therefore f(x)在F(t_1,t_2,\cdots,t_n)上的伽罗瓦群是S_n\qquad\mathcal{Q.E.D}$

当 $n\ge 5$ 时, $S_n$ 是不可解群

推论：当 $n\ge 5$ 时,n次一般代数方程是根式不可解的

$n=2,3,4$ 时,一般代数方程是根式可解的

$n=2$ 时, $x^2-px+q=0$ 的解为

${p\pm \sqrt{p^2-4q}\over 2}$

$n=3$ 时, $x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0$ 中

代入 $x=y-a_1/3$ 得关于y的三次方程,且无 $y^2$ 项

故考虑方程 $x^3+px+1=0,p,q\in F$

令 $z_1=\sqrt[3]{-{27\over 2}q+\sqrt{{27\over 4}(4p^3+27q^2)}}$

$z_2=\sqrt[3]{-{27\over 2}q-\sqrt{27\over 4}(4p^3+27q^2)}$

使 $z_1z_2=-3p$

此时方程的三个解为

$x_1={1\over 3}(z_1+z_2)$

$x_2={1\over 3}(\omega^2z_1+\omega z_2)$

$x_3={1\over 3}(\omega z_1+\omega^2z_2)$

其中 $\omega$ 为3次单位根

$n=4$ 时类似,考虑方程 $x^4+px^3+qx+r=0$

解出三次方程 $\theta^3-2p\theta^2+(p^2-4r)\theta+q^2=0$ 的三个根 $\theta_1,\theta_2,\theta_3$

令 $\alpha_i=\pm\sqrt{\theta_i}$ ,且 $\alpha_1\alpha_2\alpha_3=-q$

此时方程的四个解为

$x_1={1\over 2}(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)$

$x_2={1\over 2}(\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)$

$x_3={1\over 2}(-\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3)$

$x_4={1\over 2}(-\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3)$

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