求第k小系列（二）：在两个排序好的数组中找第k小
第k小 二分法 c++
题目描述：
There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.
Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).
You may assume nums1 and nums2 cannot be both empty.
e.g.
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
The median is (2 + 3)/2 = 2.5
解题分析：
假设待合并的两个数组为 A (size: m) 和 B (size:n)，既然要求的时间复杂度是lg，一般是将数组分成两部分，即二分法，可以满足这种时间复杂度。
1.这个中位数应当再哪里？
将数组A分为 [0, i-1] 和 [i, m-1] 两部分（0 <= i <= m），数据B分为 [0, j-1] 和 [j, n-1] 两部分（0 <= j <= n）。
将 left_A 和 left_B放入一个集合，并将 right_A 和 right_B 放入另一个集合。 再把这两个新的集合分别命名为
left_part 和 right_part：
left_part | right_part
A[0], A[1], ..., A[i-1] | A[i], A[i+1], ..., A[m-1]
B[0], B[1], ..., B[j-1] | B[j], B[j+1], ..., B[n-1]
A有m+1种分法，B有n+1种分法
在满足如下条件情况下（边界情况暂不考虑）：
max(left_part)≤min(right_part) => A[ i-1 ] ≤ B[ j ] && B[ j-1 ] ≤ A[ I ]
- m+n 为偶数：len(left_part)=len(right_part) => i+j = m-i+n-j => i+j = (m+n+1)/2
所求中位数为：median = (max(left_part)+min(right_part))/2
- m+n 为奇数：len(left_part)=len(right_part)+1 => i+j = m-i+n-j+1 => i+j = (m+n+1)/2
所求中位数为：median = max(left_part)
if ((size1 + size2) % 2 == 0) return (left + right) * 1.0 / 2;
else return left;
2.应当满足什么条件
进一步分析条件：
① 0 ≤ j ≤ n；② j = (m+n+1)/2-i ；③ 0 ≤ i≤ m
②③ => ④ : n≥m（不过i取任何值，j 都不为负数）
①② => : 0 ≤ (m+n+1)/2-i ≤ n ，(m-n+1)/2 ≤ i；此条件在④条件下无意义
所以我们需要找到 i 满足
A[ i-1 ] ≤ B[ j ] && B[ j-1 ] ≤ A[ i ] ，且 j = (m+n+1)/2-i ，n≥m
// 1 对应的是长度较短的数组A
// 2 对应的是长度较长的数组B
int min1 = 0, max1 = 0; // 长度较短的数组的最大最小值
int size1, size2; // 记录下大小
if (nums1.size() > nums2.size()) {
// 如果1比2大，则交换数组
vector<int> temp;
temp.assign(nums2.begin(), nums2.end());
nums2.assign(nums1.begin(), nums1.end());
nums1.assign(temp.begin(), temp.end());
}
size1 = nums1.size();
size2 = nums2.size();
// max1不用size-1,因为插空分，是可以分到末尾的
max1 = nums1.size();
// 记录下两个数组二分的中间值
int p1;
int p2;
// 根据二分获得中位数左边值，中位数右边值
// 最后根据size1+size2的奇偶性判断median取值
int left, right;
while (min1 <= max1) {
p1 = (min1 + max1) / 2;
p2 = (size1 + size2 + 1) / 2 - p1;
...
}
3.如何二分搜索找到 i
-
设imin=0，imax=m，然后开始在[imin,imax]中进行搜索。
-
i = (imin+imax)/2, j = (m+n+1)/2-i
-
遇到如下几种情况：
-
A[ i-1 ] ≤ B[ j ] && B[ j-1 ] ≤ A[ I ]
满足条件，直接根据m+n的奇偶性返回值
-
A[ i-1 ] > B[ j ]
说明 A[ i-1 ] 太大了，需要将 i 减小，则搜索范围调整为[ imin, i−1 ]，更新 imax 和 i
-
B[ j-1 ] > A[ I ]
说明A[ i ] 太小了，需要将 i 增大，则搜索范围调整为[ i+1, imax ]，更新 imin 和 i
-
// 应当先调大小，可能存在临界值不满足大小关系
if (p1 > 0 && nums1[p1 - 1] > nums2[p2]) {
// 说明较短数组的中间值过大，应当调小
max1 = p1 - 1;
} else if (p1 < size1 && nums2[p2 - 1] > nums1[p1]) {
// 说明较短数组的中间值过小，应当调大
min1 = p1 + 1;
} else {
// 前两个情况均为临界值，先检查异常情况
if (临界值) {
.......
} else {
// 在边界内
left = max(nums1[p1 - 1], nums2[p2 - 1]);
right = min(nums1[p1], nums2[p2]);
break;
}
4. 临界值分析
当 i=0，i=m , j=0 , j=n 时会存在 i-1, i+1 越界的情况。
我们先分析i和j是否会取到临界值：
- i=0时，A数组全部被分到右边， 可能存在j=n的临界值情况，
需保证：B[j-1] ≤ A[I]，
i=0
- i=m时，A数据全部被分到左边，可能存在j=0的临界值情况，
需保证：A[i-1] ≤ B[j]
i=m
- 根据下面的推论可知，当i不为上面的值时，j不可能取到边界值：
0<i<m
else {
// 前两个情况均为临界值，先检查异常情况
if (p1 == 0) { // 长度较短的数组A达到最小值
// 即数组A全部被分到右边
left = nums2[p2 - 1];
// 存在数组B取到边界值的情况
if (p2 == size2) right = nums1[p1];
else right = min(nums1[p1], nums2[p2]);
break;
} else if (p1 == size1) { // 长度较短的数组A达到最大值
// 即数组A全部被分到左边
right = nums2[p2];
if (p2 == 0) left = nums1[p1 - 1];
else left = max(nums1[p1 - 1], nums2[p2 - 1]);
break;
} else {
// 在边界内
left = max(nums1[p1 - 1], nums2[p2 - 1]);
right = min(nums1[p1], nums2[p2]);
break;
}
}
ps 具体代码参加GitHub地址：
https://github.com/chenshuyuhhh/acm/blob/master/binary/findMedianSortedArrays.cpp
