多维随机变量

2020-06-13 本文已影响0人忻恆

二维随机变量

F（x, y）= P{X<=x, Y<=y}, 称为 X 和 Y 的联合分布函数

边缘分布

二维变量的变量都有各自的分布函数，称为二维变量（X,Y）关于 X 和 Y的边缘分布函数，

$F_x(x) = F(x, \infty) = \sum_{x_i\leq x}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij}$

注意标号， $p_{i \cdot}$ 表示 $\sum_{j=1}^{\infty} p_{ij}$

条件分布

$P(X=x_i,Y=y_j) = \frac {p_{ij}} {p_{\cdot j}}$

相互独立： $F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)$

二维正态随机变量（X,Y）相互独立的充要条件是 $\rho = 0$

数学特征

数学期望，方差，标准差

D(X) = E(X^2) - E(X)^2

切比雪夫不等式

只知道(X)和D(X)，估计P{|X-E(X)| < $\varepsilon$ } $\geq 1 - \frac{\sigma ^2}{\varepsilon ^2}$

协方差

Cov(X, Y) = E{[X - E(X][Y - E(Y)]}

等于 0 时， X 和 Y 互相独立。

相关系数

$\rho _{XY} = \frac {Cov(X, Y)} {\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$

若（ X, Y）服从二维正态分布，则 X 和 Y 互相独立的充要条件为 X 和 Y 不相关。

矩，协方差矩阵

k 阶原点矩

$E(X^k)$

k 阶中心距

$E([X-E(X)]^k)$

k+l混合矩

k+l混合中心距 $E([X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l)$

二维变量有四个二阶中心矩，分别为：

$c_{11} = E\{ [ X-E(X) ] ^2 \}$

$c_{12} = E\{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] \}$

$c_{21} = E\{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] \}$

$c_{22} = E\{ [ Y-E(Y) ] ^2 \}$

$\begin {pmatrix} c_{11} c_{12}\\c_{21} c_{22}\end {pmatrix}$ 称为协方差矩阵， 对称矩阵

正态随机变量特征

1、每个分量都是正态随机变量；

2、随机变量的线性组合服从正态分布；

3、线性变换不改变正态分布特性；

4、相互独立 == 两两不相关。

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