算法练习：统计好数字的数目（快速幂）
一.前言
又是在力扣被题折磨的一次，反反复复地提交，反反复复的不通过，不过还好了解到了快速幂的思想，这种方式能大幅提高程序的运行速度。
题目：我们称一个数字字符串是 好数字 当它满足（下标从 0 开始）偶数 下标处的数字为 偶数 且 奇数 下标处的数字为 质数 （2，3，5 或 7）。
- 比方说，"2582" 是好数字，因为偶数下标处的数字（2 和 8）是偶数且奇数下标处的数字（5 和 2）为质数。但 "3245" 不是 好数字，因为 3 在偶数下标处但不是偶数。
给你一个整数 n ，请你返回长度为 n 且为好数字的数字字符串 总数 。由于答案可能会很大，请你将它对 109 + 7 取余后返回 。
一个 数字字符串 是每一位都由 0 到 9 组成的字符串，且可能包含前导 0.(题目来源：LeetCode）
二.分析
这道题乍一看似乎挺简单，由于是让我们返回好数字的个数，对于偶数下标来说符合条件的无非就0,2,4,6,8这几个数字，而奇数下标只有1,3,5,7这四个数字。我们只需要计算每一位上符合条件的数字的个数之积，顶多再模上1000000007就是最终答案了。但是真的是这样的吗？
- 敲完代码直接提交（自信加蔑视）
class Solution {
public int countGoodNumbers(long n) {
double result = 0;
if (n % 2 == 0){
result = (Math.pow(4,n/2) * Math.pow(5,n/2)) % 1000000007;
}else {
result = (Math.pow(4,n/2) * Math.pow(5,n/2 + 1)) % 1000000007;
}
return (int) result;
}
}
心想这不就完了吗，很难吗？但是最终结果就是它死活不让我过，卡在了50：
迷茫啊...
我***，这哪有什么问题，这都不让过？离谱啊...... 思考一番无果我只能去翻翻源码，这一下又让我有了新的收获：
它是一个本地方法，也就是由c/c++编写的方法，java能拿来用，而这个pow方法返回四舍五入到最接近的int值的参数值，而int最多只能表示2147483647（2的31次方-1），但是代码里面的5的50次方早就超过了其最大值，因此这里已经溢出，错误也就随之产生了。
行，那我就换个方法，不用这个pow方法，我自己写一个能得到指数值的方法不就好了吗？
/**
* 说明：这里举个例子，想简单告诉一下大家这种循环计算时会非常耗时间
*/
public class Test {
public static long normalCal(int power, int base) {
long result = 1;
for (int i = 0; i < power; i++) {
result = result * base;
}
return result;
}
public static void main(String[] args) {
long result = normalCal(30,5 );
System.out.println(result);
}
}
这里我们求的是5的30次方，那么就会执行30次循环。不难发现其时间复杂度为O(N),其中N为指数。在我们这段代码中还好，要是我换成5的100次方呢？那么会有以下两个问题：
- 1.假如真的是5的200次方，即使我们用long接收，结果也会溢出的，这又会回到前面的问题上去。
- 2.就算我们想尽办法正确得到了这个结果，但这会花费大量的时间，这样提交上去肯定会超时，最终也会不成功。
那么是否有一种二者问题都解决掉的方案呢？答案肯定是有的，这就是之前我们将要说到的快速幂思想。
三.快速幂思想
我们先来初步认识下快速幂，给定一个2的12次方式子让你计算，你拿到这个题后会怎么想呢？
- 为了计算的简便，我们通常可以将2的12次方转换为4的6次方进而转成16的4次方...进行计算。
1.快速幂正好是这种思想，在计算机中2的12次方要循环12次，而我们通过将指数减半，底数平方的思想可以减少循环的次数，从而提高性能。就比如上述的2的12次方：我们通过快速幂的思想思考它是这样的：2的12次方 -> 4的6次方 -> 16的3次方 -> 256的1次方 乘以 16。前者循环了12次，而后者只需要循环4次，要是有更高指数计算，则能节省循环的次数也就不言而喻了。
那我们怎么解决因为计算出的值过大而溢出导致出错的问题呢？我们先来了解一下模的运算规律吧：
a). (a+b)%p=(a%p+b%p)%p
b). (a-b)%p=(a%p-b%p)%p
c). (a*b)%p=(a%p * b%p)%p
2.在这里只需要用到第三条结论，我们可以在计算过程中就开始不断取模，而不是等到最终结果出来之后再模运算，这样就能避免最终答案太大导致出错的问题了。
因此在进行幂运算时我们可以这样做：
public long myAns(lon base, long index) {
int k = 1000000007;
long result = 1;
while (index > 0) {//当指数减到1时跳出循环
if (index % 2 == 1) {
//奇数往这儿走，由于这里是奇数，指数减半会有余数，因此我们只需多乘以一个原来的result就行了
index = index - 1;
result = result * base % k;//乘上原来的底数
base = base * base % k;//底数平方
}else {
//偶数来这里，这里就是正常的指数减半，底数平方
index = index / 2;
base = (base * base) % k;
}
//我们可以看到这种方式节约的循环次数是指数级的
return result;
}
其实上面这个代码还能更精简一些，我们还能对它进行优化。
我们来看看整道题的全部代码：
class Solution {
//优化后的代码，这个方法就是进行幂运算
public long findMyResult(long base, long index) {
long result = 1;
while(index> 0){
if(power % 2 == 1){
result = result * base % 1000000007;
}
index = index / 2;//奇数除以2会舍去小数点后面的数，能自动实现减1操作
base = base * base % 1000000007;
}
return result;
}
public int countGoodNumbers(long n) {
if(n % 2 == 0){
long result = findMyResult(4,n/2) % 1000000007;
result = (result * findMyResult(5,n/2)) % 1000000007;
return (int) result;
}else{
long result = (findMyResult(4,n/2) % 1000000007);
result = (result * findMyResult(5,n/2 + 1)) % 1000000007;
return (int) result;
}
}
}
完 ~
