第9课线性相关性，基，维数

2019-06-14 本文已影响0人 rascalpotato

什么是线性相关？

什么是由向量组所"生成"的空间？

什么是向量空间的基？（核心）

什么是子空间的"维数"？

强调所说的是：

"向量组"是线性无关的，不会说一个"矩阵"是线性无关的。

“向量组”线性无关

"向量组"生成一个空间

"向量组"作为一个"基"

线性相关性

"向量组"的线性无关和线性相关性

什么条件下列向量 $V_1,V_2\dots V_n$ 是"无关"的?

除了系数全为零，如果存在一种组合,使得结果为零向量，那么它们是线性相关， $c_1V_1+c_2V_2+c_3V_3 = 0$ (除了 $c_1,c_2,c_3,\dots,c_n$ 全为零)
除了系数全为零，如果不存在一种组合,使得结果为零向量,那么它们是线性无关， $c_1V_1+c_2V_2+c_3V_3 \neq 0$ (除了 $c_1,c_2,c_3,\dots,c_n$ 全为零)

$A = \begin{matrix} & \begin{matrix}v_1&v_2&v_3\end{matrix} \\ \begin{matrix}r_1\\r_2\end{matrix} & \begin{bmatrix}2&1&2.5\\1&2&-1\end{bmatrix} \end{matrix} \underbrace{\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{bmatrix}}_{非零向量} = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$
对于矩阵 $A$ 中各列向量 $V_1,V_2,\dots,V_n$ 是“相关”还是“无关”讨论

如果各列向量 $V_1,V_2,\dots,V_n$ ,当它们相关， $A$ 的零空间会怎样？
这些列向量相关，表示矩阵 $A$ 的零空间 $N(A)$ 存在非零向量，即零空间中存在一些非零的向量 $C$ ，使 $AC=0;C\neq0$ ； $(rank=n)$
如果各列向量 $V_1,V_2,\dots,V_n$ ,当它们无关， $A$ 的零空间会怎样？
这些列向量无关，表示矩阵 $A$ 的零空间 $N(A)$ 只有零向量 $(rank=n)$
考虑列向量各种不同组合，看看能否使得结果为零，如果能，线性相关；如果不能，线性无关

换个角度考虑，通过秩。

如果矩阵 $A$ 的各列向量线性无关，秩是多少？

列向量无关的时候，总共有多少个主列？

所有的列都是主列，共有 $n$ 个。而自由列的实质在于，它们是主列的一种组合。
列向量无关时， $rank=n,N(A)=\{0\}$ ,无自由变量
列向量相关时， $r<n$ ,有自由变量

一般来说，我们只对矩阵里面的向量组感兴趣，因此“线性相关性”的定义，并不是对矩阵来说的。也没有规定向量必须在n维空间里，可以将它们当作列向量，把它们放到矩阵里，将矩阵看作向量组，然后将向量组的线性相关性和矩阵的零空间联系起来

向量组生成空间是什么意思？
已知矩阵里面有一些列向量，这些列向量的所有线性组合将生成一个列空间，因此，生成列空间是指 $V_1,V_2,\dots,V_n$ ,生成一个子空间或者一个向量空间，这个空间包含这些向量的所有线性组合

基

我们关心这样的向量组：既能生成空间，本身又是无关的，这意味着向量的个数必须适当，若个数不足，则无法生成需要的空间，若个数过多，则有可能不是线性无关的，因此带出“基”的概念，它包含向量的个数不多不少。

向量空间的一组"基"指：一系列的向量， $V_1,V_2,V_3,\dots,V_d$ ，这些向量具有两个特性（向量个数足够，但又不会太多）：

它们是线性无关的
它们生成整个空间

如果需要确定一个子空间的时候，只需要确定它的基是什么，这等于告诉我们这个子空间的全部有用信息，只需将基进行组合，找到空间所有的线性组合就行了，求空间的一组基相当于要找到一组向量

例：

三维空间，一组基 $\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$

如何检验该向量组是一组基？
把这些向量当作矩阵的列向量，然后通过消元和行变换，结果是否会得到自由变量，没有自由变量则为基，有自由变量则不为基。矩阵本身需要满足，当空间为 $R^n$ 时，有 $n$ 个向量为列的 $n*n$ 矩阵，该矩阵必须是可逆的，所以 $R^n$ 空间中存在多组基，这些基都有共同之处是基向量的个数相同,为 $n$ 个。另外，矩阵中无关的所有列向量，正好生成矩阵子空间，它们无关，所以是子空间的基

空间性质：对于给定空间，该空间可以有多组基，但每组基向量的个数相等，基向量个数表示此空间的大小(数量)，它称为空间的“维数”

线性无关: 线性组合不为0
生成：着眼于所有的线性组合
基：是一组无关的向量，并生成空间
维数：表示基向量的个数

例：假设整个空间是矩阵的列空间，记为 $C(A)$

$\underbrace{ \begin{bmatrix}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{bmatrix} }_{C(A)} \underbrace{\begin{bmatrix}-1&-1\\-1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}_{N(A)}$

找一个零空间内的向量，使得各列的线性组合为零向量，换言之，需要求解 $AX=0$ ，

因为列三=列一+列列二，因此线性相关，能生成列空间。相关，告诉我们这个列空间的一组基，第一列和第二列，它们是主列，所以该矩阵的秩是主列的个数2。

$-1*col_1+-1*col_2+1*col_3+0*col_4=\underbrace{0}_{向量}$ ，特解1： $\underbrace{\begin{bmatrix}-1\\-1\\1\\0\end{bmatrix}}_{N(A)}$
$-1*col_1+0*col_2+0*col_3+1*col_4=\underbrace{0}_{向量}$ ，特解2： $\underbrace{\begin{bmatrix}-1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}_{N(A)}$

选择2个自由变量，赋予它们为 $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ 或 $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

矩阵 $A$ 的秩 $r$ ，主列的数目：也是列空间(子空间)的维数。
矩阵 $A$ 的秩 $r$ ，记作 $rank(A)=2$
矩阵 $A$ 主列的数目，2
矩阵 $A$ 列空间的维数( $dim$ )，记作 $dimC(A)=2$

零空间中的向量告诉我们2件事

按照零空间中的向量，组合列向量会得到零向量，
按照零空间中的向量，组合列向量才会线性相关

零空间的维数是自由变量的数目， $dimN(A) = n-r$

当我们知道这个列空间的维数
如果我们有一些线性无关的向量，它们就会是一组基。
如果确定了向量个数，它们线性无关，它们就能生成空间，如果它们不能生成空间，就得存在第三个向量来帮忙生成空间，若是这样，这些向量一定会线性相关，所以，我们搞对了维数，它们必须是线性无关的，然后生成空间

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