谈谈不确定性下的决策问题

在不确定性下的如何做决策，如何选择，始终是一个困扰人的问题。在此我通过3个案例与大家分享我的理解。

案例1：砸彩蛋

• 假如你正在参加一个砸彩蛋的游戏，每个彩蛋里有金额不等的优惠券。你面前将会逐一呈现编号为1~10的十个彩蛋，你每次砸开可以选择要或不要，但你选择不要之后这个彩蛋就不会再回来了，你选择了要之后，之后的彩蛋也不会再呈现。你有且只能选择1
  个彩蛋带走；
• 问题：何种方法能使拿到最优惠彩蛋的可能性最大。
• 常规解法：
  -- 如果你采取缺乏耐心的策略，选第一个，则拿到最大金额优惠券的概率是10%
  -- 如果你随机选一个，概率同样10%；
  -- 如果你采取犹豫不决的策略，看完10个彩蛋，你就只能选最后一个，概率同样为10%。
• 进一步问题：有更好的方法能让拿到最优惠彩蛋的概率 > 10% 吗？
• 更好的策略：首先看完5个彩蛋，从中选择一个最优惠的彩蛋，将它定为目标彩蛋。然后接着继续看，如果发现有一个彩蛋比目标彩蛋更优惠，那么就买下它。如果剩下的5个彩蛋都比目标彩蛋优惠金额小，那就表明最优惠彩蛋不在后面6个，你就只能选择最后一个彩蛋。
  -- 概率：如果你采取这种策略，赢得最优彩蛋的概率是 > 27%
  -- 计算过程： 次优惠彩蛋在前4个彩蛋中，而最优惠彩蛋在后6个彩蛋中，则获得最优解的概率 = P（次优惠产品在前5产品中） * P（最优惠产品在后5个产品中） = 5/10 * 5/9 = 0.28。当然其实你获得最优彩蛋的概率会大于28%，因为如果次优彩蛋和最优彩蛋都在最后5个中，如果最优彩蛋排在次优之前，你也可以赢得最优彩蛋。
• 在后面这个解题过程中，我们其实只做了一件事情，通过对前面彩蛋的分析，引入了目标彩蛋，这让获得最优彩蛋的概率立刻提升了2倍。它的现实意义在于，引入相关的信息可以帮助我们区隔目标集，依据区隔过的目标集，我们能改善决策品质，提升获胜概率。
• 假设现在不止有10个彩蛋可以选择，而是有100个彩蛋可供选择，你还是用这种策略。但有一个最优策略，在37%菜单中选择最优惠的产品，在接下来的产品中有比这个产品更优惠的就买下来。那么此时你赢的概率是37%。其他策略再复杂也不可能让你赢的概率更高。37%这个数值可能昭示了，过多或者过少的信息都可能无法帮助我们更好的区隔目标集，导致我们偏离最优策略。可人生最大的痛苦在于我们不知道37%在哪里，由此可以推断最优解未必是值得追求的目标，满意即可。40%、45%、50%相比随机选择，都能带来足够满意的获胜概率。反之，37%相比这些显而易见的区隔，也没有带来获胜概率的显著提升。
• 不知道大家看到这个结果是怎么想，我看到之后有一种相恨见晚的感觉。突然让我想起，读大学时，父亲总对我说要多谈几次恋爱，当时自己傻傻不明白，现在才知道原来此事的真谛就在如此。你只有谈过几次恋爱， 才知道你的目标在那里，到那时你才能找得到你真正想要的另一半。
• 当你根据已有信息，作出决策确定选择之后，你又将面临如何对待现有选择的不确定性问题，我会在接下来体检的案例谈到这个问题。

案例2：体检

• 假设你在进行某种疾病的排查，这种疾病在人群中的发病率是1%，在没有任何临床症状时，进行检查化验，准确率是95%。也就是说，当你确实患有该种疾病，那么化验结果有95%的可能是阳性；如果你没有患病，那么化验结果又95%的可能是阴性。那么当你的化验结果是阳性时，你患病的概率有多大？
• 凭直觉你会得出患病概率为95%。很多人都会把在已知患病的前提下检查结果为阳性的概率与检查结果为阳性的前提下患病的概率弄混淆，这其中包括最不应该把它们弄混淆的人：1978年《新英格兰医学杂志》中发表了一篇文章，就一个类似的问题向哈佛医学院的四个附属医院中60个医生提问。只有11个医生回答正确，几乎一半的人的回答都是95%。
• 解题：
  -- 我们用 P（） 代表一个事情发生的概率，用P（A|B）代表在B发生的前提下A发生的概率。
  -- P（患病的概率 | 阳性结果） = P（阳性结果 | 患病的概率） * P（患病的概率） / P（阳性结果 | 患病的概率） * P（患病的概率） + P（阳性结果 | 非 患病的概率） * P（非 患病的概率），把数值带入等式得：
  -- P（患病的概率 | 阳性结果） = 0.95 * 0.01 / 0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99 = 0.16
• 患病的概率只有16%，这个结果完全违背了我们的直觉。其中主要的原因在于大家都忽略了这个 1% 的基础概率。基础概率如果十分罕见，检查出来的阳性结果就越可能是误诊，反之，基础概率越高，检查结果越可信。
• 我们换成实际的数字能更好地帮助大家理解。假设一万人中大概有100人患病，其中95人能被检查出，剩下9900个没有患病的人中，5%会被误诊，这样就有495人还会得到阳性的检查结果。因此总共有95 + 495 = 590例阳性病例，但只有95人是患者，概率大约是16%。其中495人称为假阳性病例，5位检查结果为阴性的实际患者称为假阴性病例。
• 目前你得知只有16%的患病概率大概能心里稍稍宽慰一会，可也无法完全放心。你可以做第二次检查，假设第二次检查与第一次检查是相互独立的，概率也不变。唯一不同的是经过了第一次检查之后，第二次检查的基础概率从1%提升为16%。计算公式还是同上，如果你第二次检查的结果依然是阳性，那么你患病的概率是78%，如果结果是阴性，那么你患病的概率则降为0.9%。
• 现在你清晰地了解到患病的概率是连续更新的，它从最开始的1%，到第一次检查的16%，第二次检查的78%或0.9%。我们根据最新的事件结果更新它的概率，不断深入地认知事物。
• 这个案例的几个关键点如下：
  -- 基准概率思维：这是一种外部思维，它不要求我们从事物的内在本质去了解事物（因为有时候我们会因为缺乏时间和高品质的信息源，导致无从深入的认知事物），而是通过同类事物的共性和发生概率来了解事物。
  -- 复合思维：如果一件事情的基准概率很低，而你手上却有很强有力的证据，那你越需要反思该证据的可信度，不妨多核查几次。
  -- 贝叶斯法则：这个案例是一个经典的贝叶斯法则的案例。贝叶斯法则要求我们根据信息来更新基准概率，通过核查来降低假阳性的比例。新的信息或许支持原初基准概率，或者与之背道而行，但不管如何，它都让我们用全新的眼光来审视原初的基准概率。
• 最后我们来探讨一个德州扑克的案例，尝试着寻找在不确定性下合理的目标和行动策略。

案例3 德州扑克

• 德州扑克是如今十分流行的纸牌游戏。通常每位玩家手持两张底牌，接着发牌员发出5张公共牌，牌面朝上放在桌子的正中央。每位玩家把自己的两张底牌和5张公共牌组合在一起，谁的牌最大谁就获胜。
• 假如你正在玩德州扑克，你的底牌是一张红桃Q和一张红桃9，发牌员在桌上放了4张公共牌：红桃A、红桃K、梅花7、红桃4；
• 最后一张公共牌即将发出，如果这张牌是红桃，你就可以拿到一手同花牌。通过快速心算可以得知，一副牌有52张，4张红桃已经发出，那么嗨剩下9张红桃和37张其他颜色牌。那么得到同花牌的概率是9:37，或者约为20%，反之，凑不齐同花牌的概率是80%。
• 根据这个概率，新玩家通常会选择退出，因为他们着眼于确定的信息：得到一张同花牌的概率较小。但老练的玩家会综合概率和期望值进行决定。
• 假如一位老练玩家看到对方押注10元，底池的筹码为100元，为了继续玩下去，看看最后一张公共牌是不是红桃，他只需要跟着下注10元。如果他赌对了，他就能用赢得100元，这样他押下的每一元能获得9元的收益，他的赔率是10:1。
• 现在我们可以想象玩这局牌100次，我们不知道这局牌能否赢，但我们可以计算出如果玩100局同类牌，平均能赢20次，每次能赢100元，那么20次一共能赢2000元。平均能输80次，每次输10元，80次一共会输800元。那100局同类牌的净获利是2000 - 800 = 1200元。这1200元就是这局牌的期望值。
• 我从这个案例得到如下几个启发：
  -- 应该根据期望值而不是概率下注，坦然面对不确定性；
  -- 每一次下注面对的是全新的期望值，过去投入的已经成为沉积成本。经济学有句名言：“让过去的事情过去吧。”
  -- 这里没有谈到实际值与期望值之间的偏差——标准差。如果偏差太大，记得别让自己的赌本押在少数的几次牌局中，我们要记得，只有足够多的次数中我们才能让概率为我们所用，没有谁能预测一局牌的结果。

结束语

• 在不确定性下没有谁有必胜的能力，我们唯一能做的就是相对的增加获胜的几率。