第一章：向量空间

2019-08-21 本文已影响0人熊文鑫

本章重点

本章将给出向量空间的定义，并讨论向量空间的基本性质。
    在某些数学领域包括线性代数，如果在研究实数的同时也
研究复数，就会得到更好的定理而且理解也会更深刻。

因此，我们先介绍复数及其基本性质。

1.1复数如何得来的？

1.负数没有平方根？ i^2=-1
2.复数C是实数的超集

其中复数集记为 $C=\{ a+bi : a,b \in R \}$

复数的除法：

先将分母和分子同乘分母的共轭，把分母化为实数，然后计算分子的乘即可。

元组：

以圆括号包裹，以逗号分隔，长度为非负数(包括0)的n个有序对象的组合。称为元组。

<font color='blue'>定义 $F^n$ 为长度为n的集合</font>

$F^n=\{ (x_1,···，x_n) : x_j \in F,j=1,···,n \}$

延伸猜想：

如果定义一个数可以和实数联系起来，那么实数的运算性质可以迁移到定义的数集中，和实数扩展的集合性质也与实数运算的性质相同。
既然实数和虚数的组合符合实数的运算性质，那么多个类同的集合组合在一起又是怎样的呢？这个集合视为F,这个F的性质和实数运算的性质一致。

1.2向量加法与标量乘法

1.把向量空间定义为带有加法和标量乘法的集合V。

2.V上加法：有个函数，使得对于 $u,v \in V$ ----> $u+v \in V$

3.标量乘法：有个函数使得， $a \in F,v \in V$ ----> $av \in V$

多项式也是向量空间

1.多项式的定义：

系数在F中的多项式为： $p: F \to F$

有： $a_0,···,a_m \in F$ 使得 $p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+···+a_mz^m,z \in F$

那么定义： $P(F)$ 为系数在F中的所有多项式构成的集合。

理解：上面把z,z^2,z^3 等当做基本向量了。

延伸：那么任意一个函数集也可以看做系数在F中的向量空间了。
原文：一般来说，向量空间是一个抽象的对象，其中的元素可能是组、函数
或稀奇古怪的对象。

向量空间性质：

1.向量空间有唯一的加法单位元。
2.向量空间中的每个元素都有唯一的加法逆。

3.对于每个 $v \in V$ 都有 $0v=\vec 0$ 标量0乘向量v等于零向量 $\vec 0$

4.对于每个 $a \in F$ 都有 $a \vec 0= \vec 0$ 标量乘以零向量等于零向量

5.对于每个 $\vec v \in F$ 都有 $(-1)\vec v=-\vec v$

验证V子空间的性质:

1.加法单位元： $\vec 0 \in U$
2.对加法封闭：若 $\vec u,\vec v \in U$ ,则 $\vec u+\vec v \in U$
3.对标量乘法封闭：若 $a \in F,\vec u \in U$ ,则 $a\vec u\in U$

子空间例子：

$\{(x_1,x_2,0):x_1,x_2 \in F \}$ 是 $F^3$ 的一个子空间

多为实数空间的子空间： $R^2$ 的子空间为{0}-原点， $R^2$ ,所有过原点的直线。 $R^3$ 的子空间为{0},过原点的线，过原点的面， $R^3$

和与直和

和:对于 $U_1,···，U_m$ 都是V的子空间，则
$U_1+···+U_m=\{u_1+···+u_m:u_1 \in U_1,···，u_m \in U_m\}$

对于 $U_1,···，U_m$ 是V的子空间，则$U_1+···+U_m也是V的子空间。

n维向量的空间个数是 $2^n$ 个,种数是n+1个

直和： $U_1,···，U_m$ 是V的子空间使得V= $U_1+···+U_m$ ,V种的每个元素都可以唯一地写成 $u_1+···+u_m$ 的形式。则称V是子空间 $U_1,···，U_m$ 的直和，记为: $V=U_1\oplus···\oplus U_m$

反例：直和的定义要求向量空间中的每个向量都能唯一地表示成一个适当的和。(只需要考虑<b> $\vec 0$ </b>是否可以唯一的写成一个适当的和就可以。)

判定直和的充要条件

(a) V= $U_1+···+U_n$
(b) 若 $\vec 0=u_1+··+u_n,u_j \in U_j$ ，则每个 $u_j$ 为0。

两个子空间的直和：
$V=U \oplus W \Longleftrightarrow V=U+W,并且U \cap W=\{0\}$