《数学简史》文艺复兴时期

正当东方的文明古国如中国、印度和阿拉伯在数学上做出新的贡献时，欧洲却处于漫长的“黑暗时代”。这段长达1000年的黑暗时代被后来的意大利人文主义者称为“中世纪”，以便凸显他们的工作和理想，同时把所处的时代与之区别开来，从而与古希腊和古罗马遥相呼应。

可是，在中世纪以前，希腊和罗马之外的欧洲民族并没有多少作为，至少在人类文明史上没有留下特别值得称道的成就。而在此之后，希腊也没有复兴的迹象。因此，中世纪也好，黑暗时代也罢，除了黑死病的流行以外，它们对于意大利人而言，更多的是人文主义的学术用词。

那时候，罗马教皇西尔维斯特二世（约945—1003）就非常喜欢数学，他能够登基也与这个嗜好有关，可谓数学史上的一大传奇。这位教皇年轻时曾旅居西班牙三年，在一座修道院学习“四艺”，那里由于受阿拉伯人统治而有较高的数学水平。后来他来到罗马，因数学才能得到教皇的赏识，并被引荐给皇帝，又深得皇帝赏识，遂成为王子的老师。以后的几任皇帝也非常器重他，直到任命他做了新教皇。

大约就在热尔贝的时代，希腊数学和科学的经典著作开始传入西欧。在这些被翻译成拉丁文的著作中，除了欧几里得的《几何原本》、托勒密的《地理志》、阿基米德的《圆的度量》和阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》等希腊经典名著以外，还有阿拉伯人的学术结晶，如花拉子密的《代数学》。

到了13世纪，不同种类的社会组织在意大利层出不穷，包括各种行会、协会、市民议事机构和教会，等等，它们迫切希望获得某种程度的自治。在艺术领域，哥特式建筑和雕塑的经典模式已经形成，文化生活方面则产生了经院哲学的方法论，保守的教徒们第一次正视科学的理性主义。

在相对开放的政治和人文氛围里，数学领域也出现了中世纪欧洲最杰出的数学家斐波那契（约1170—约1250），他出版的《算经》又名“算盘书”，这里的算盘指用于计算的沙盘，包括数的基本算法（六十进制）、商业应用题（如百钱买百鸡）和“两只兔子一年后变几只兔子”（后人提到的斐波那契数列）这样的杂题怪题。而他出版的另一本《平方数书》书中提出了的数论断言，数论专著，更奠定了斐波那契作为数论学家的地位，使他成为介于丢番图和费尔马之间的最有影响力的数论学家。

随着封建社会结构的瓦解，意大利城邦力量的增强，西班牙、法国和英国国家君主制的相继出现，世俗教育的兴起，新航路的开辟和新大陆的发现，哥白尼“日心说”的提出，一个具有全新精神面貌的新时代诞生了。这个时代回顾古典学术、智慧和价值观，从中汲取灵感，被称为“文艺复兴时期”。

艺术家们最先表示出对自然界的兴趣，并最先认真地运用希腊人的学说，即数学是自然界真实的本质。他们通过实践来学习数学，尤其是几何学，因此产生了像阿尔贝蒂、达·芬奇这样的文艺复兴式人物。

阿尔贝蒂就是表现出“人文主义理想”的代表，集雕刻家、建筑师、画家、文学家、数学家、哲学家身份于一身的“全才”。

阿尔贝蒂利用他掌握的几何知识，在历史上首次找到在平面木板上或墙壁上绘制出立体场景的规则，这对意大利的绘画与浮雕水平的提升起到了立竿见影的效果，产生了准确、丰满、几何形的合乎透视画法的绘画风格。阿尔贝蒂认为“画家应当通晓全部自由艺术，但首先要精通几何学。”他提出的“任意两个截景之间有什么样的数学关系？”这个问题是射影几何学的出发点。

文艺复兴时期最光辉灿烂的人物，当属列奥纳多·达·芬奇（1452—1519），据说列奥纳多是以学徒的身份开始学习绘画的，他30岁以后一度专心于高等几何和算法，他创作《最后的晚餐》和《蒙娜丽莎》分别是在中年和晚年。他认为一幅画必须是原形的精确再现，坚持认为数学的透视法可以做到这一点，并称它是“绘画的舵轮和准绳”。在几何学方面的主要成就是给出了四面体的重心的位置，即在底面三角形的重心到对顶点的连线四分之一的位置上。

这个时期的另一位多才多艺的艺术家，就是阿尔布雷特·丢勒（1471—1528）。被视为文艺复兴时期所有艺术家中最懂数学的人，他的著作《圆规直尺测量法》主要是关于几何学的，也顺便提到了透视法。书中谈到了空间曲线及其在平面上的投影，他还介绍了外摆线，即一个圆滚动时圆周上一点的运动轨迹。

虽说文艺复兴时期的艺术家们对数学有着独到的见解，但数学的复兴乃至近代数学的兴起要等到16世纪。新数学的推进首先从代数学开始，主要成就是三次和四次代数方程求解的突破和代数的符号化。韦达（1540—1603）被公认为第一个引进了系统的代数符号的人，并对方程论做出了贡献，今天的中学数学教程中就有“韦达公式”，韦达也在后来被誉为现代代数符号之父。

进入17世纪以后，各式各样的数学理论和分支如雨后春笋般茁壮成长。法国数学家德扎尔格（1591—1661）回答了阿尔贝蒂提出的有关透视法的数学问题，并建立起射影几何学的主要概念，成为这个数学分支的奠基人。他提出了“无穷远点”的概念，从而使两条直线平行和相交完全统一（平行即相交于无穷远点）。他认为几何图形的相互关系不涉及度量，这也是几何学的一种新思想。“德扎尔格定理”，是指假如平面或空间中的两个三角形的对应顶点的连线共点，那么它们的（三组）对应边（延长线）的交点共线。

从本质上讲，近代数学就是关于变量的数学，这也是它与古代数学的区别所在，后者是关于常量的数学。变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。作为几何学的一个分支，解析几何的基本思想是在平面中引进坐标的概念，因此它又被称为坐标几何。用解析几何的方法，我们可以将任何一个形如f(x, y)= 0的代数方程（通过方程的解）与平面上的一条曲线对应起来。这样一来，一方面几何问题也就可以转化为代数问题，再通过对代数问题的研究就可以发现新的几何结果；另一方面，代数问题也就有了几何意义的解释。

解析几何不仅把代数方法应用于几何，也把变量引入了数学，为微积分的创立开辟了道路，但真正起关键作用的还是函数概念的建立。

由于演绎推理的广泛应用，自然科学变得更加数学化，越来越多地使用数学术语、方法和结论。与此同时，随着各门科学与数学的进一步融合，它们自身的发展进程也越来越快。从伽利略到笛卡尔，他们都认为世界是由运动的物质组成的，科学的目的是为了揭示这些运动的数学规律，牛顿的三大运动定律和万有引力定律便是这方面最好的范例。

笛卡尔和帕斯卡尔都是横跨科学和人文两大领域的巨人，在他们的感召和影响之下，数学成为法国人心目中传统文化的组成部分，并且是最优秀的部分。

牛顿（1642—1727）22岁那年，他开始有关微积分的研究，他一直用“流量”（fluent）一词来表示变量之间的关系。1665年11月发明了“正流数术”（微分学），在次年5月发明了“反流数术”（积分学）。比他稍晚的德国数学家莱布尼茨则率先用“函数”（function）一词来表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量，至于该曲线本身，莱布尼茨认定是由一个方程式给出的。与牛顿流数术的运动学背景不同，莱布尼茨是从几何学的角度出发的。

用记号f (x)来表示函数是由瑞士数学家欧拉在1734年引进的，那时函数已成为微积分学的中心概念。

微积分作为欧几里得几何学之后数学领域中最重要的创造，它的出现有着深刻的社会背景。首先，它是为了处理和解决17世纪几个主要的科学问题，包括物理学、天文学、光学和军事科学；其次，它也是数学自身发展的需要，例如求解曲线的切线问题。与此同时，随着解析几何的出现，变量进入数学领域，使得运动和变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立奠定了基础。