高数常用公式总结

2021-10-16 本文已影响0人翻译不了的声响

1. 基础公式

$\sin0 = 0$ ， $\cos0 = 1$ ;

$\ln1 = 0$ ， $\ln e = 1$ ， $e^0 = 1$ .

2. 极限

极限公式

$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{sin\,x}{x} = 1$ ；
$\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left(1+ \frac{1}{x}\right)^x = e$ ， $\lim\limits_ {x \rightarrow 0} (1+x)^ \frac{1}{x} = e$ ;
$\lim\limits_ {x \rightarrow 0} (1+ax)^\frac{b}{x} = e^{ab}$ ， $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{a}{x})^{bx} = e^{ab}$ .

无穷公式

$\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{a}{b} = 0，a是b的高阶无穷小$
$\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{a} {b} = \infty，a是b低价无穷小；$
$\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{a} {b} = 1，a是b等价无穷小；$
$\lim\limits_ {x \rightarrow 0} \frac{a} {b} = m \neq 1，a是b同价无穷小。$

3. 导数

导数公式

$(c)' = 0 \,(c为常数)$ ， $(x^a)' = ax^{a-1} \,(a为实数)$ ;
$(a^x)' = a^x\ln a$ ， $(e^x)' = e^x$ ；
$(\log x)'= \frac{1}{x\ln a}$ ， $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ ；
$(\sin x)' = \cos x$ ， $(\cos x)' = -\sin x$ ；
$(\tan x)'=\frac{1}{\cos ^2 x}=\sec^2 x$ ， $(\cot x)'=- \frac{1}{\sin ^2 x}=- \csc ^2 x$ ；
$(\sec x)' = \sec x \tan x$ ， $(\csc x)' =- \csc x \cot x$ ；
$(\arcsin x)'=\frac{1} {\sqrt{1-x^2}}$ ， $(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ；
$(\arctan x)' = \frac{1} {1+x^2}$ ， $(\arccot x)' = {-\frac{1} {1+ x^2}}$ .

四则运算
设 $u = u(x)$ , $v = v(x)$ 在点 $x$ 处可导，则：

$(cu)' = cu' \,(c为常数)$ ， $(u \pm v)' = u' \pm v'$ ;
$(uv)' = u'v + uv'$ ， $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \,(v\neq0)$ .

复合求导

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}·\frac{du}{dx} = f'(u)·g'(x)$

4. 微分

微分公式

$d(c) = 0 \,(c为常数)$ ， $d(x^a) = ax^{a-1}dx \,(a为实数)$ ;
$d(a^x) = a^x\ln a dx$ ， $d(e^x) = e^xdx$ ；
$d(\log_x) = \frac{1} {x\ln a}dx$ ， $d(\ln x)= \frac{1}{x}dx$ ；
$d(\sin x) = \cos xdx$ ， $d(\cos x) = -\sin x dx$ ；
$d(\tan x) =\frac{1} {\cos ^2 x}dx =\sec^2 xdx$ ， $d(\cot x) =- \frac{1} {\sin ^2 x}dx=- \csc ^2 x dx$ ；
$d(\sec x) = \sec x \tan x dx$ ， $d(\csc x) =- \csc x \cot xdx$ ；
$d(\arcsin x) =\frac{1} {\sqrt{1-x^2}}dx$ ， $d(\arccos x)={-\frac{1} {\sqrt{1-x^2}}}dx$ ；
$d(\arctan x) = \frac{1} {1+x^2}dx$ ， $d(\arccot x) = {-\frac {1} {1+x^2}}dx$ .

四则运算
设 $u = u(x)$ , $v = v(x)$ 可微分，则：

$d(cu) = cdu \,(c为常数)$ , $d(u \pm v) = du \pm dv$ ,
$d(uv) = vdu + udv$ , $d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vdu - udv} {v^2} \,(v\neq0)$ .

复合求导

$dy=y'_udu = y'_xdx$

5. 洛必达法则

$\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x)} {F(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac {f'(x)} {F'(x)}= \frac {f'(x_0)} {F'(x_0)},(其中 \frac {f(x)} {F(x)} = \frac {0} {0} 或 \frac {\infty} {\infty})$

6.切线方程

斜率

$k=f'(x_0)$ , $k_{切}·k_{法} =-1$ ;

点斜式

$y-y_0 = k(x-x_0)$ ， $k$ 为斜率， $(x_0,y_0)$ 为切点

一元二次方程式

$ax^2+bx+c=0$ , $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

切线方程式
曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程：

$y-f(x_0) =f'(x_0)(x-x_0)$

法线方程式
当 $f'(x_0)\neq0$ 时，法线方程：

$y-f(x_0) =- \frac {1}{f'(x_0)}(x-x_0)$

7. 不定积分

基本公式

$\int {0}·dx = C$ , $\int{k} dx = kx + C$ , $\int {x^n} dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C(n\neq-1)$ , $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln |x|+C$ , $\int {a^x}dx = \frac{1}{\ln a}a^x +C$ , $\int {e^x}dx = e^x +C$ , $\int {\sin x}dx = -\cos x+C$ , $\int {\cos x}dx = \sin x+ C$ , $\int {\frac{1}{\cos ^2 x}}dx = \tan x+C$ , $\int {\frac{1}{\sin ^2 x}}dx = -\cot x+C$ , $\int {\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \arcsin x+C$ , $\int {\frac{1} {1+x^2}}dx = \arctan x+ C$ .