常微分方程

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囊括了一阶线性微分方程，二阶常系数非齐次，二阶变系数，欧拉方程等主要题型。

2016-1-5. 求解柯西问题

$\begin{align*} & (2x+1)u''(x)-u'(x)=0, \quad x>0 \\ & u(0)=0, \quad u'(0)=1 \end{align*}$

显然方程为 $y''=f(x,y')$ 型微分方程。令 $u'(x)=v$ ，所以 $u''(x)=v'$ ，所以有
$\begin{align*} (2x+1)v'-v=0 \\ \frac{\mathrm dv}{\mathrm dx} = \frac{v}{2x+1} \\ \frac{\mathrm dv}{v}=\frac{\mathrm dx}{2x+1} \\ \ln |v|=\ln C_1 \sqrt{2x+1} \\ v= C_1\sqrt{2x+1} \end{align*}$
又因为 $v(0)=u'(0)=1$ ，所以 $C_1=1$ ，所以
$\begin{align*} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\sqrt{2x+1} \end{align*}$
所以，
$u=\frac{(2x+1)^{\frac{3}{2}}}{3} +C_2$
又有 $u(0)=0$ ，所以 $C_2=-\frac{1}{3}$ ，所以
$u=\frac{(2x+1)^{\frac{3}{2}}-1}{3}$

2016-1-6. 解方程 $u(x)=\int_0^x u(t)\mathrm dt+\exp(x), \quad x \geq 0$

显然有 $u(0)=1$ ；令对方程两边同时求导有,
$u'(x)=u(x)+\exp(x)$
这是一阶线性微分方程，易得
$u(x)=(x+1)\exp(x)$

2016-2-5. 求解柯西问题

$\begin{align*} & (x+1)u''(x)+2u'(x)=0, \quad x>0 \\ & u(0)=0, \quad u'(0)=1 \end{align*}$

方法同2016-1-5，易得 $u(x)=\frac{x}{x+1}$

2016-2-6. 解方程 $u(x)=\int_x^{+\infty} u(t)\mathrm dt+\exp(-x), \quad x \geq 0$

显然有 $\lim_{x\to +\infty} u=0$ ；同2016-1-6易得，
$u(x)=\exp(-x)(C-x)$

2016-3-5. 求解柯西问题

$\begin{align*} & (x^2+1)u''(x)+2xu'(x)-2u(x)=0, \quad x>0 \\ & u(0)=1, \quad u'(0)=0 \end{align*}$

先忽略初值条件，方程显然有一特解 $u_1=x$ ，根据刘维尔公式，另一特解为
$\begin{align*} u_2=u_1\int \frac{1}{u_1^2}e^{-\int p(x)\mathrm dx} \mathrm dx \end{align*}$
容易解得，
$u_2=-1-x\arctan x$
所以通解为，
$u=C_1x+C_2(-1-x\arctan x)$
又由初值条件，可解得 $C_1=0, C_2=-1$
所以
$u(x)=1+x\arctan x$

2016-3-6. 解方程 $u(x)=\int_0^{x} \frac{u(t)}{2} \mathrm dt - \int_x^{1} \frac{u(t)}{2} \mathrm dt -\exp(x), \quad 0 \leq x \leq 1$

显然有
$u(0)=- \int_0^{1} \frac{u(t)}{2} \mathrm dt - 1$
以及
$u(1)=\int_0^{1} \frac{u(t)}{2} \mathrm dt - e$
所以
$u(0)+u(1)=-1-e$
同2016-1-6易得，
$u(x)=\exp(x)(-\frac{1}{1+e}-x)$

2016-4-5. 求解柯西问题

$\begin{align*} & \frac{u(x)u''(x)}{u'(x)}=u'(x)+1, \quad x>0 \\ & u(0)=1, \quad u'(0)=1 \end{align*}$

显然方程为 $y''=f(y,y')$ 型微分方程。令 $u'(x)=p$ ，所以
$u''(x)=\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dp}{\mathrm du} \cdot \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} = p\frac{\mathrm dp}{\mathrm du}$
所以原方程为，
$u\frac{\mathrm dp}{\mathrm du} = p+1$
易得
$p=Cu-1$
又因为 $u(0)=1, \quad u'(0)=1$ ，所以
$p=2u-1$
所以
$u(x)=\frac{e^{2x}+1}{2}$

2016-4-6. 解方程 $u(x)=i\int_0^{x} u(t) \mathrm dt - i \int_x^{\pi} u(t) \mathrm dt + \exp(2ix), \quad 0 \leq x \leq \pi$

同2016-3-6易得，
$u(x)=(1-i\pi+2ix)\exp(2ix)$

2016-5-5. 求解柯西问题

$\begin{align*} & (u'(x))^2+u''(x)=u'(x) \\ & u(0)=0, \quad u'(0)=2 \end{align*}$

同2016-4-5易得，
$u(x)=\ln (2e^x-1)$

2016-5-6. 解方程 $u(x) = \frac{i}{2} \int_0^{x} u(t) \mathrm dt - \frac{i}{2} \int_x^{2\pi} u(t) \mathrm dt - \exp(ix), \quad 0 \leq x \leq 2\pi$

同2016-3-6易得，
$u(x)=(i\pi-1-ix)\exp(ix)$

2018-1-3. 求微分方程 $y''(x)+y(x)=\sin x, \quad x \in \mathbb R$ 的通解

显然，微分方程属于 $e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x +Q_n(x)\sin \omega x]$ 型，且 $\lambda =0$ ， $\omega =1$ ， $P_l(x)=0$ ， $Q_n(x)=1$ 。
方程对应的齐次方程的特征方程为
$r^2+1=0$
所以，齐次方程的通解为 $Y=C_1\cos x+C_2 \sin x$ 。且显然 $\lambda +\omega i$ 是特征方程的根，所以设特解为
$y^{*}=x(a\cos x+b\sin x )$
求 $y',y''$ 代回原方程容易解得
$\begin{align*} & a=-\frac{1}{2} \\ & b=0 \end{align*}$
所以原方程的通解为
$y=C_1\cos x+C_2\sin x -\frac{1}{2}x\cos x$

2018-1-9. 求下列微分方程的通解

$xy''(x)+(2-2x)y'(x)+(x-2)y(x)=1, \quad x>0$

显然，对于其对应的齐次方程有一特解 $y=e^x$ ，根据刘维尔公式有
$\begin{vmatrix} e^x & y(x) \\ e^x & y'(x) \end{vmatrix} = C \exp(-\int p(x)\mathrm dx)$
即，
$e^xy'-e^xy=C\frac{e^{2x}}{x^2}$
可以用一阶线性微分方程的求解公式直接代入求解，也可以变换一下形式
$e^{2x}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\frac{y}{e^x})=C\frac{e^{2x}}{x^2}$
容易求得，
$y=-C\frac{e^x}{x}+De^x$
使用常数变易法，易得原方程的通解为
$y=\frac{1}{x}+C_1\frac{e^x}{x}+C_2e^x$

2018-2-3. 求微分方程 $y''(x)-y(x)=e^{-x}, \quad x \in \mathbb R$ 的通解

显然，微分方程属于 $e^{\lambda x}P_m(x)$ 型，且 $\lambda =-1$ ， $P_m(x)=1$
方程对应的齐次方程的特征方程为
$r^2-1=0$
所以，齐次方程的通解为 $Y=C_1e^x+C_2 e^{-x}$ 。且显然 $\lambda$ 是特征方程的单根，所以设特解为
$y^{*}=x(ae^{-x})$
求 $y',y''$ 代回原方程容易解得
$\begin{align*} & a=-\frac{1}{2} \\ \end{align*}$
所以原方程的通解为
$y=C_1e^x+C_2e^{-x} -\frac{x}{2}e^{-x}$

2018-2-9. 求下列微分方程的通解

$x^2y''(x)-(x^2+2x)y'(x)+(x+2)y(x)=x^3, \quad x>0$

方法同2018-2-9，易得
$y=C_1xe^x-x^2+C_2x$

2019-2-4. 解下列柯西问题

$x^2y''(x)=2y(x), \quad x>0, \quad y(1)=0, \quad y'(1)=3$

显然，方程为欧拉方程。令 $x=e^t$ ， $D$ 为 $\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$ 所以有
$D(D-1)y=2y$
即，
$D^2y-Dy-2y=0$
为二阶常系数齐次线性微分方程，易得
$y=C_1e^{2t}+C_2e^{-t}$
即
$y=C_1x^2+\frac{C_2}{x}$
又有初值条件 $y(1)=0, \quad y'(1)=3$ ，所以
$y=x^2-\frac{1}{x}$