报童问题的简单解法

2019-11-26 本文已影响0人虚胖一场

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我们早先已经在《报童问题》一文中介绍了这个经典的商品采购模型。文中的推导略有些繁复。为了便于理解，本文将给出一个相对简单的解法。

问题

我们还是沿用前文的记号。问题定义如下：

每天早上，报童以批发价 $c$ 元/份采购当天的报纸，然后以零售价 $p$ 元/份售卖。如果当天报纸没有卖完，则以 $s$ 元/份的价格卖给废品回收站。不失一般性，假设 $p>c>s$ 。用随机变量 $D$ 表示当天的需求量，并已知其概率分布。求使得期望收益最大的采购量 $x$ 。

求解

收益为总销售额减去总成本：
$\begin{aligned} \pi(x, D) &= p\cdot \min(x, D)+s\cdot\max(x-D, 0)-c\cdot x\\ &=p\cdot \min(x, D)+s\cdot[\max(x, D) - D]-c\cdot x\\ &=p\cdot \min(x, D)+s\cdot[x+D - \min(x, D) - D]-c\cdot x\\ &=(p-s)\cdot \min(x, D)-(c-s)\cdot x \end{aligned}$
这里利用了 $\max(x, D) + \min(x, D) = x+D$ 。

收益的期望为
$\begin{aligned} \mathbb{E}[\pi(x, D)] &= (p-s)\cdot \mathbb{E}[\min(x, D)]-(c-s)\cdot x\\ &= (p-s)\cdot \int_0^{+\infty}\min(x, d) f(d)\mathrm{d}d-(c-s)\cdot x \end{aligned}$
其中 $f(d)$ 为随机变量 $D$ 的概率密度函数。

为使期望收益最大，我们令
$\begin{aligned} \frac{\partial \mathbb{E}[\pi(x, D)]}{\partial x} & = 0\\ &=(p-s)\cdot \frac{\partial}{\partial x}\left( \int_0^{+\infty}\min(x, d)f(d)\mathrm{d}d\right)-(c-s)\\ &=(p-s)\cdot \frac{\partial}{\partial x}\left( \int_0^{x}d\cdot f(d)\mathrm{d}d+\int_x^{+\infty}x\cdot f(d)\mathrm{d}d\right)-(c-s)\\ &=(p-s)\cdot \left[ \int_0^x\frac{\partial (d\cdot f(d))}{\partial x}\mathrm{d}d+\int_x^{+\infty}\frac{\partial (x\cdot f(d))}{\partial x}\mathrm{d}d\right]-(c-s)\\ &=(p-s)\cdot \int_x^{+\infty}f(d)\mathrm{d}d-(c-s)\\ &=(p-s)\cdot [1-F(x)]-(c-s)\\ \end{aligned}$
其中 $F(d)$ 为随机变量 $D$ 的累积分布函数。解上式得
$F(x) = \frac{p-c}{p-s} \equiv\gamma$
$\gamma$ 即为前文解得的临界分位数（Critical Fractile）。使得期望收益最大的采购量为
$x^*=F^{-1}(\gamma)$

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