1.4 复数Peview of complex number

前言

本节主要复习复数的知识，复数与指数函数的关系，复数的几何图像。

1. 实数和虚数

复数一般写成如下形式：
（其中 都是实数）
称为实数部分；
称为虚数部分。

2. 指数和复数的关系

首先从著名的欧拉公式入手，

• 欧拉公式
  
  根据这个公式就可以实现复数与指数的相互转化！
  除了三角函数的形式，一般形式的复数 同样也可以转化为指数形式，
• 极坐标
  
• 复数运算
  • 加减乘太简单就不说了
  • 除法
    
• 指数运算
  • 指数的加减就很复杂了，大多数情况下需要计算机才能计算；
  • 而乘除相对简单。
• 复数的共轭，改变的是虚数部分的符号
  
• 复数的平方
  
  （ps：如果用实数表示横坐标，虚数表示纵坐标，那么复数的平方可表示为A 点和原点距离
  

3. 复数 vs. 指数（极坐标）

指数形式又称为极坐标形式，为什么要复数与指数的转化如此重要，通过下面的例子就可以很容易看出

• 假设复数,
  复数
  • 加法：
    
  • 乘法：
    
  • 除法：
    
  • 绝对值：
    
• 如果将上述复数写成指数性质（极坐标形式）
  • 根据欧拉公式，
    得到：
    
  • 同理第二个复数可以写成如下形式：
    
  • 然后再来算两者的除法：
    
    和上面的复数计算结果一致
    有没有发现，指数的乘除法相比于复数，突然变得非常简单！
• 几何解释
  从几何角度解释复数与指数的关系会更加清楚，也更加有趣。
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  对于复数， 以实数为横坐标，虚数为纵坐标，图可以看出：
  1. 复数的坐标距离原点的距离仅和e指数前面的系数有关
     而
  2. 而该点与横坐标的夹角显然等于：, 虚数部分越大，夹角越大。
  3. 复数的加法，从复数的角度可以表示为，两个向量的加法
  4. 复数的乘法，从指数的角度可以表示为(1) 角度相加（除法自然就是角度相减）；（2）距离相乘 。
     怎么样？总的来说，在坐标图中，复数的加减可以用向量加减轻松表示，而对于它不擅长的乘除领域就可以转化为指数轻松计算。

4. 复数函数

• 
• 对于量子力学，波函数一般用表示，它其实也是一个复函数。
  再拿出我们的欧拉公式，可以发现，通过改变角度和系数的值，我们就可以表示任何大小，频率的波。
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