程序员进阶之算法练习（三十）附基础教程

前言

BAT常见的算法面试题解析：
程序员算法基础——动态规划
程序员算法基础——贪心算法
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正文

1.k-th divisor

题目链接
题目大意：
给出一个数字n，求数字n所有因子中，第k大的数字；
如果没有输出-1；

输入数据：
两个数字 n and k (1 ≤ n ≤ 1e15, 1 ≤ k ≤ 1e9)

Examples
input
4 2
output
2
input
5 3
output
-1

题目解析：
假如n=x*y（x<y)，那么x和y是n的因子，且有x <= sqrt(n)；
那么只要枚举x=1~sqrt(n)，y=n/x，这样可以得到n所有的因子；
再从因子中选择第k大的数字即可。

思考🤔：
小trick，n=9,x=3时，有y=3，但是x=y，所以只算一个因子；

2.USB vs. PS/2

题目链接
题目大意：
机房有三种电脑，一种只有USB接口，一种只有PS/2接口，一种是两种接口均有，数量分别为a、b、c；
现在机房希望给电脑配上鼠标，鼠标有两种，一种只支持USB，一种只支持PS/2；
鼠标有m个，每个仅能用于一台电脑，价格为val[i]；
现在希望能支持尽可能多的电脑，如果有多个选择，选择总价格最低的。

输入数据：
第一行 s a, b and c (0 ≤ a, b, c ≤ 1e5)
第二行 m (0 ≤ m ≤ 3·1e5)
接下来m行 每行 val[i] 和 鼠标支持类型 (1 ≤ val[i] ≤ 1e9)
输出：
最多能支持的电脑数量还有总价格；

Examples
input
2 1 1
4
5 USB
6 PS/2
3 PS/2
7 PS/2
output
3 14

题目解析：
要求首先是支持的电脑数量最多，其次再是价格最低。
电脑与电脑之间的差别：电脑类型A（USB接口）和电脑类型B（PS/2接口）兼容性比电脑类型C（两种接口都支持）差，那么应该优先支持类型A、B；
鼠标与鼠标之间的差别：同类型的鼠标，价格低者应该优先使用，这样总价格会更低；
综合这两者的差异，可以得到一个贪心的策略：
对鼠标按价格排序，从价格小的开始选；在配电脑的时候，优先选择类型A/B，如果没有再选择类型C。

3. Two strings

题目链接
题目大意：
给出两个字符串a和b，现在从b中删去一个连续的子串，得到字符串b'，
要求b'是a的子序列；
现在希望删除尽可能短的字符串，并 输出b';
（如果b'为空，输出'-'）

输入数据：
两行字符串，分别是a和b；
a和b的长度均小于1e5；

Examples
input
hi
bob
output
-
样例解释：删除所有的字符，得到空串，输出-；

input
abca
accepted
output
ac
样例解释：删除子串cepted，得到b'=ac，是a的子序列；

题目解析：
删除必然是某个区间[l, r]，先看最暴力的做法：
枚举[l, r]的可能性，得到新的字符串bNew，对a和bNew做一次匹配；
匹配的规则是对于bNew的每一个字符，都在原来基础上找最近的匹配，最后看bNew是否能在a中找到所有的字符匹配位置；
枚举区间是O(N^2)，匹配是O(N)，总的复杂度是O(N^3);
接下来看优化思路，
性质1：区间[l, r]如果满足题意，那么[l-1, r]或者[l, r+1]也会满足题意；
如果用动态规划，状态数有N^2，已经超过限制；（虽然动态规划的转移是整体O(N)）

由性质1，这里可以引入一个二分：二分区间长度。
然后再枚举区间的起点，得到bNew，再进行一次匹配；
整体的复杂度是O(logN)的二分，O(N)的枚举区间起点，O(N)的单次匹配复杂度；

这里单次匹配可以优化：
dp[i]表示字符串b，前i个字符匹配字符串a，的最短长度；
dpR[i]表示reverse_b（字符串b的转置），前i个字符串匹配字符串reverse_a，的最短长度；
那么bNew=b减去区间[l, r]=[1,l-1] + [r+1, len]
只要dp[i]+dpR[j]<=lenA，那么就有解；
这样单次匹配的复杂度降到了O(1);

总体的复杂度是O(logN * N), 题目能接受的复杂度。

4.Timofey and a tree

题目链接
题目大意：
一棵树有n个点，序号是1~n，每个点有一个颜色值color[i];
现在要求选择一个点，以这个点作为新的root根节点，要求其root根节点下，每颗子树内的颜色相同（子树与子树之间颜色可以不同）；
如果可以则输出YES，然后再输出点序号；
如果不可以则单独输出NO。

输入数据：
第一行 n (2 ≤ n ≤ 1e5)
接下来n-1行，每行有两个数字（x，y），表示点x和y之间有一条边；
最后一行是颜色值 c1, c2, ..., cn (1 ≤ ci ≤ 1e5)

Examples
input
4
1 2
2 3
3 4
1 2 1 1
output
YES
2

题目解析：
题目要求子树内颜色相同，那么对于边(u, v)，如果u和v的颜色不同，那么有三种可能：
1、以u为根；
2、以v为根；
3、无解；

接下来的问题是，如何判断以u为根的情况是否满足题意？
以u为根，对每个子树进行一次dfs，判断是否子树的颜色相同，即可。

5.Ilya And The Tree

题目链接
题目大意：
有一颗根为1的树，共有n个点，每个点有一个权值a[i]；
我们定义一个点的魅力值为：点到根的路径上，所有点的最大公约数（gcd）；
同时，我们可以选择修改一个点的权值为0；（gcd(0, m) = m）
问，每一个点的可能最大魅力值；

输入数据：
第一行，n (1 ≤ n ≤ 2e5)
第二行，a[i] (1 ≤ a[i] ≤ 2e5)
接下来n-1行，每行有两个数字（x，y），表示点x和y之间有一条边；

Examples
input
3
6 2 3
1 2
1 3
output
6 6 6
样例解释：
输入：首先n；
接下来是n个数字a[i];
然后n-1行，表示树的边；
输出：n个点可能的最大魅力值；
点1的最大魅力值是6（不做修改），点2的最大魅力值是6（修改点2的权值为0），点3的最大魅力值是6（修改点3的权值为0）
题目解析：
先重复下题目的定义：对于树上某个点u，其最大魅力值是点u到根上的所有数字的gcd；
对于点u，如果可以修改某个某个数字为0，那么相当于从点u到根上的所有数字中去掉一个数字，再求gcd；
问题简化成，在数组x[1]、x[2]、....x[k]中，去掉一个数字使得gcd最大。

如果不考虑复杂度，我们可以枚举去掉任意一个数字，再计算剩下的gcd，从中选择最大的数字；
对其思路进行优化，我们用d[i][0]表示前i个数字的gcd值，d[i][1]表示前i个数字去掉一个数字的最大gcd值；
于是有,d[1][0]=x[1], d[1][1]=0；
d[i][0] = gcd(d[i-1][0], x[i]);
d[i][1] = max(gcd(d[i-1][1], x[i]), d[i-1][0]); //如果前i个数字去掉的是x[i]，那么gcd为d[i-1][0]；如果去掉的数字不为x[i]，那么结果为d[i-1][1]和x[i]的gcd值。

再回到树上的实现方案：
对每个点i维护一个数组d[i][2]，在dfs过程不断更新数组即可。

总结

算法文集里有上百道各式各样的算法题，欢迎品尝。
本文题目源于Codeforces。
授人以鱼不如授人以渔，但是大多数人只需要鱼，并不要渔。
这里是鱼：
程序员算法基础——动态规划
程序员算法基础——贪心算法